α 和高斯混合噪聲背景下超聲波風矢量測量

石屹然，齊金偉，曲思凝，趙 洋

（吉林大學通信工程學院，吉林長春130022）

1 引 言

風速、風向作為氣象要素的重要組成部分，在軍事、航空、航海、交通等國計民生的各個方面均有著重大的影響［1］。相比于傳統的如熱敏測量［2］、多普勒測量［3］、皮托管測量［4］以及機械測量［5］等測量方法，超聲波風矢量測量方法具有的測量精度高、范圍寬、適用于各種野外復雜情況等優點，使之成為國內外學者的熱點研究問題。

針對超聲波風矢量測量問題，Ruttgen［6］提出了一種基于相對時差法的超聲波風速風向測量方法，該方法利用超聲波在順、逆風情況下渡越時間的不同來測量風速，從而消除了環境溫濕度等參數對測量精度的影響，有效地提高了測量精度。但是該方法忽略了環境噪聲對超聲波渡越時間測量的影響，在較低信噪比條件下，該方法測量性能急劇下降。對此，Castagnede 等［7］將超聲波渡越時間測量問題凝練為含噪信號時延估計問題，提出了一種基于自相關時延參數估計的風矢量測量方法，有效抑制了高斯噪聲對時延參數估計精度的影響。然而，該方法在一定程度上銳化了信號的峰值，存在峰值誤判的問題［8］。Brassier 等［9］提出了一種基于互相關時延參數估計的超聲波風矢量測量方法，該方法將發射信號與接收信號進行互相關運算，直接估計渡越時間，減小了計算結果的方差。曹長宏等［10］在互相關時延估計算法的基礎上提出了一種二次互相關時延估計算法。該方法通過對互相關和自相關運算結果再次進行互相關運算以估計超聲波渡越時間，進一步降低了時延估計算法的信噪比閾值。但是，基于時間延遲估計的超聲波風矢量測量方法需在時間延遲為微秒級精度下進行，因而難以實現高精度、寬范圍的測量［11］。

同時，在實際應用過程中發現，環境中不僅存在著高斯噪聲，還存在著大量的具有脈沖沖擊特性的非高斯噪聲。研究結果表明［12］［13］，這種噪聲在時域上表現出大量的脈沖尖峰特征，在頻域上顯示出更為厚重的拖尾現象。Nikias 指出［12］，該類噪聲可利用α 穩定分布過程進行表征。特別是當特征指數 α=2 時，α 穩定分布噪聲（以下簡稱α 噪聲）退變為傳統高斯噪聲。因此，高斯噪聲是α 噪聲的一個特例，α 噪聲具有更為寬泛的適用范圍。但是，α 穩定分布不存在有限的二階矩，甚至當 α<1 時，連均值的運算都不能進行［13］。這直接導致傳統的那些基于二階矩或高階累積量的超聲波測量方法估計性能退化甚至失效。

針對上述問題，本文提出了一種基于分數低階矩（Fractional Lower Order Moment，FLOM）的雙相測量方法。首先，本文利用FLOM 算子對α 與高斯混合噪聲進行抑制，提升了抑制噪聲的能力；然后，將風矢量測量問題轉化為相位估計問題，進而有效地擴大了算法的測量范圍，利用參考信號的正交性提出了一種基于FLOM 的雙相估計方法（以下簡稱分數低階雙相估計方法）。該方法可消除超聲波信號傳播過程中的幅度變化對相位估計的影響，同時實現了高精度、寬范圍的風矢量測量。

2 模型建立

2.1 超聲波測量模型

如圖1 所示，分別在南北方向以及東西方向各布置一組超聲波換能器，即S1，S2，W1，W2，其中S1 與S2，W1 與W2 之間距離相等，且同時具備收發功能，并采用相對時差法對風矢量進行測量。

圖1 風矢量測量模型Fig.1 Model of wind vector measurement

以東西方向為例，設由東到西（W2→W1）為順風。當W2 發射超聲波，W1 接收時，超聲波在W2→W1 方向上傳播的真實速度為：

其中：C為聲速，VW為風速在東西方向上的分量。

設W2 與W1 之間的距離為L，則超聲波在W2→W1 方向上傳播的時間為：

當W1 發射超聲波，W2 接收時，超聲波在W1→W2 方向上傳播的真實速度為：

則超聲波在W1→W2 方向上傳播的時間為：

由式（2）與式（4）可求得風速在東西方向上分量為：

由式（5）可知，采用相對時差法可消除環境因素（溫度、濕度等）對聲速的影響。

同理，設由南到北（S2→S1）為順風。則風速在南北方向上的速度分量為：

其中：TS2S1為超聲波沿S2→S1 方向傳播的時間，TS1S2為超聲波沿S1→S2 方向傳播的時間。

由于W1-W2 與S1-S2 之間正交，由式（5）與式（6）可得風速V與風向角θ分別為：

2.2 含噪信號模型

設超聲波的發射信號為：

其中：A為參考信號的幅值，ω=2πf為參考信號的頻率，f≥20 KHz 為中心頻率。

設接收到的含噪超聲信號y（t）為：

其中：s(t)為經過延遲的超聲波信號，B為超聲波傳播后經過變化的幅值，Δt為超聲波傳播的延遲時間，n(t)為加性噪聲。

不失一般性，假設噪聲n(t)=nα(t)+ng(t)，其中nα(t)服從α穩定分布，為 SαS 噪聲，ng(t)為高斯白噪聲，且ng(t)，nα(t)與x(t)，s(t)之間統計獨立。

傳統的基于時間延遲估計的超聲波風矢量測量方法是通過直接估計超聲波傳播的延遲時間Δt來計算出風速與風向。

注意到，由于

其中，φ=ωΔt為接收和發射超聲信號的相位差。

因此，與傳統的時間延遲估計方法相比，采用相位估計方法來估計φ等價于將Δt放大了ω倍，在相同的誤差范圍下，能夠獲得更高的估計精度，進而使得風矢量具有更高的測量精度和更寬的測量范圍。

2.3 α 穩定分布

α穩定分布沒有閉式的概率密度解析式，一般通過特征函數進行表征［14］：

式（12）可記為：Sα（γ，β，a）。其中0<α≤2為特征指數，-1≤β≤ 1 為偏斜參數，γ≥ 0 為分散系數，-∞

3 基于分數低階雙相估計方法的超聲波風矢量測量

根據 FLOM 算子，由式（9）與式（11）可得超聲波含噪信號的分數低階互相關函數為［15］：

其中 0

將式（9）與式（11）代入式（15）可得：

由廣義二項展開式可知［16］，式（16）可轉化為：

由前文假設，式（17）可以化簡為：

由式（18）可知，利用 FLOM 算子，可將附加噪聲n(t)充分抑制。為了獲取超聲波信號的相位差，將式（18）進一步化簡可得：

在傳統的相位估計方法中，均未考慮信號的幅值變化，即幅值A=B。然而，在超聲波測量過程中，接收信號的幅值會受到傳播路徑、超聲波換能器的性能等因素而發生變化，即幅值A≠B。如果仍認為A=B，在對φ進行估計時則會產生誤差，進而對風速風向測量的精確性產生較大影響。因此，為了消除信號幅值變化帶來的影響，本文在分數低階互相關函數的基礎上提出了分數低階雙相估計方法。

將式（9）的發射參考信號進行90°相移，可得

將式（20）與式（11）代入式（15）可得：

利用前文所述式（16）到式（19）的推導過程可得：

由式（22）與式（19）聯立可得：

對比式（23）與式（19）可知，本文所提的分數低階雙相估計方法僅與相位差φ有關，有效的消除了超聲波傳播過程中幅值變化對相位估計的影響，極大提高了相位估計的精度。

為了確定式（24）中的n，以零風速條件為參考，由式（11）可得：

其中，φ0為零風速條件下的相位差。

設W1~W2 與S1~S2 方向上所測的最大風速為v，分別取順風與逆風方向時，有：

其中，φv為最大風速條件下的相位差。

則式（25）與式（26）需滿足如下條件：

化簡式（27）可得：

由式（28）可知，在0~v風速段內滿足條件的f，L可使所測得的相位差φ僅在φ0的 ±2π內波動，此時，相位差φ在式（24）中的n值與零風速條件下的n值相同，避免了因選取的超聲波中心頻率過高、換能器之間距離過長等因素引起的n值不確定的情況。其中，零風速條件下的n值可由式（25）確定，由式（24）與零風速下的n值即可確定φ。

由渡越時間與相位差關系式，風速在W1-W2 與S1-S2 方向上的分量分別為：

其中：φW2W1為W2→W1 方向上的相位差，φW1W2為W1→W2 方向上的相位差；

其中：φS2S1為S2→S1 方向上的相位差，φS1S2為S1→S2 方向上的相位差。

將式（29）與式（30）代入式（7）與式（8）即可計算出風速V與風向角θ。

4 仿真分析與實際測試

4.1 仿真分析

實驗1 驗證分數低階雙相估計方法對α 與高斯混合噪聲的抑制能力。

實驗條件：超聲波的中心頻率f=25.0 KHz，幅度系數A=1，幅度系數B=0.6，超聲波傳播的距離L=0.07 m，聲速C=340 m/s；附加噪聲nα(t)為 SαS 噪聲，它可按文獻［17］產生，特征指數α=1.2，其信噪比采用如下廣義信噪比定義：

取GSNR=2.5 dB。附加噪聲ng(t)為高斯噪聲，可根據文獻［17］產生，其信噪比采用如下定義：

其中：PS為信號的有效功率，PN為噪聲的有效功率。取SNg R=2.5 dB。FLOM 算子的階次p=0.5，采樣頻率取10 MHz，數據長度取10 000。測量風速V=24.16 m s，風向角θ=65.56°。其中f，L，V，θ滿足式（28）。

實驗方法：使用本文方法與傳統基于二階矩的時延估計方法分別對風速以及風向角進行估計，進行100 次蒙特卡洛實驗。其中基于二階矩的時延估計方法可由文獻［18］定義。

實驗結果：圖2 為基于二階矩的時延估計方法和本文分數低階雙相估計方法在α與高斯混合噪聲下超聲波測風性能的仿真結果。

由圖2 可知，由于α與高斯混合噪聲的影響，傳統的二階矩時延估計方法將會在超聲波進行風矢量測量時發生嚴重退化。而本文的分數低階雙相估計方法仍然能夠較為準確地利用超聲波進行風矢量的測量，所測得的風速的均方根誤差為0.009 1，風向角的均方根誤差為0.13。

圖2 實驗1 估計結果Fig.2 The estimation results of experiment 1

實驗2 驗證分數低階雙相估計方法的高精度測量性能。

實驗條件：同實驗1。

實驗方法：使用本文方法與基于FLOM 的時延估計方法分別對風速以及風向角進行估計，進行100 次蒙特卡洛實驗。其中基于FLOM 的時延估計方法可由文獻［18］定義。

實驗結果：圖3 為基于FLOM 的時延估計方法和本文分數低階雙相估計方法在α與高斯混合噪聲下超聲波測風性能的仿真結果。

由圖3 可知，在α與高斯混合噪聲的影響下，基于分數低階時延估計的超聲波風矢量測量方法所測得的風速的均方根誤差為0.027，風向角的均方根誤差為0.361，本文方法所測得的風速的均方根誤差為0.009 1，風向角的均方根誤差為0.13。兩種方法均具有較好的測量性能，但是本文分數低階雙相測量方法精確度更高。

圖3 實驗2 估計結果Fig.3 The estimation results of experiment 2

實驗3 驗證分數低階雙相估計方法的寬范圍測量性能。

實驗條件：在實驗1 的基礎上將測量風速提升到V=70.71 m s，風向角θ=45°。

實驗方法：使用本文方法與基于FLOM 的時延估計方法分別對風速以及風向角進行估計，進行100 次蒙特卡洛實驗。

實驗結果：圖4 為基于FLOM 的時延估計方法和本文分數低階雙相估計方法在α與高斯混合噪聲下超聲波測風性能的仿真結果。

圖4 實驗3 估計結果Fig.4 The estimation results of experiment 3

由圖4 可知，在α 與高斯混合噪聲的影響下，當測量風速提高到V=70.71 m s，風向角為θ=45°時，基于分數低階時延估計的超聲波風矢量測量方法已經失效，而本文的分數低階雙相測量方法仍然能夠較為準確地利用超聲波進行風矢量的測量，所測得的風速的均方根誤差為0.083，風向角的均方根誤差為0.363。

對比實驗2 與實驗3 可知，本文分數低階雙相估計方法較基于分數低階時延估計的超聲波風矢量測量方法的測量范圍寬。

實驗4 驗證本文分數低階雙相估計方法在不同信噪比條件下的超聲波測風性能。

實驗條件：在實驗1 條件下，使附加噪聲的信噪比SNR=GSNR+SNg R以5 dB 間隔從-10 dB 到 10 dB 增加。

實驗方法：在每一信噪比下，采用本文分數低階雙相估計方法進行100 次蒙特卡洛實驗。將實驗的結果進行均方根誤差（RMSE）［19］運算：

其中：Vr為真實風速，θr為真實風向角。

實驗結果：圖5 為在不同信噪比下，采用本文分數低階雙相估計方法進行超聲波風矢量得到的風速與風向角的均方根誤差曲線。

圖5 風速與風向角的均方根誤差曲線Fig.5 RMSE curve of wind speed and wind direction angle

由圖5 可知，隨著α 與高斯混合噪聲信噪比（SNR）的逐漸增大，測得的風速與風向角的均方根誤差（RMSE）逐漸減小。即使在SNR=-10 dB 的條件下，本文方法在進行超聲波風矢量測量時仍有很高的精度，充分體現了本文方法對高斯與α 混合噪聲的強抑制能力。

4.2 實際測試

將本文方法應用在超聲波風矢量測量實驗臺上進行測試，實驗平臺如圖6 所示。

圖6 超聲波測風平臺Fig.6 Ultrasonic wind measuring platform

實驗方法：在長春氣象所EDE1-5 型風洞中，在風速V=71.06 m s，風向角θ=50.71°的環境下進行測試。其中L=0.07 m，f=25.0 KHz。采用在測量環境周圍放置多個交流接觸器，使其進行反復開關動作產生高斯與α混合噪聲。

實驗結果：圖7 為在超聲波風矢量實測平臺所得的實驗結果。

圖7 風矢量實測圖Fig.7 Actual wind vector test map

由圖7 可知，在α與高斯混合噪聲的干擾下，采用本文分數低階雙相估計方法所測得的均方根誤差為0.104，風向角的均方根誤差為0.54。可見本文提出的分數低階雙相估計方法在實物平臺實測風矢量時具有較強的泛化能力。

5 結 論

本文針對α 與高斯混合噪聲下超聲波風矢量測量問題，首先利用FLOM 算子對α與高斯混合噪聲進行抑制，彌補了傳統的二階矩和高階累積量方法在超聲波風矢量測量中退化失效的不足。然后在此基礎上，將時延估計方法轉化為相位估計方法，并利用參考信號的正交性，提出了一種分數低階雙相估計方法，解決了超聲波傳播過程中的幅值變化降低風矢量測量精度的問題，有效地擴大了風矢量的測量范圍。仿真與實測結果表明：

（1）與傳統的二階矩時延估計方法相比，分數低階雙相測量方法對高斯與α混合噪聲具有強抑制能力。與基于FLOM 的時延估計方法相比，分數低階雙相測量方法在中低風速段具有更高的精度，而在高風速段，基于FLOM 的時延估計方法已經失效，但是分數低階雙相測量方法仍然具有良好的測風能力。

（2）在信噪比為-10 dB 的條件下，風速的均方根誤差小于1.5 m/s，風向角的均方根誤差小于2°，仍然具有較高的精度。

（3）在實測平臺上，本文方法在風速V=70.71 m s，風向角θ=45°的環境下所測得的風速的均方根誤差為0.104，風向角的均方根誤差為0.54，具有較強的泛化能力。