主成分算法在數控機床主軸熱誤差補償中的應用

魏新園，陳雨塵，苗恩銘，馮旭剛，潘巧生

（1. 安徽工業大學電氣與信息工程學院，安徽馬鞍山243032；2. 重慶理工大學 機械工程學院，重慶 400054；3. 合肥工業大學儀器科學與光電工程學院，安徽合肥230009）

1 引 言

隨著機床朝著高精度、智能化、高速和高可靠性的方向發展，熱誤差對機床精度的影響逐漸占主導地位［1］。機床熱誤差是由于內外部熱源變化導致零部件產生熱變形，從而造成刀具與工件之間的相對位置發生變化［2］。對于機床熱誤差問題，一方面可以通過熱源控制和結構設計減少零部件的熱變形，即硬件預防法［3］。另一方面可以通過建立熱誤差關于溫度的預測模型，對熱誤差進行預測和補償，即軟件補償法［4］。軟件補償法以其成本低和易于實現等優點較常被采用，其核心理論技術包括熱誤差測量方法、建模理論和補償技術。其中熱誤差建模算法是影響最終補償效果的關鍵，所建立的熱誤差預測模型需要具有高預測精度和高穩健性［5］。

多元線性回歸算法（Multiple Linear Regres?sion，MLR）［6］常用于建立熱誤差預測模型，并且建模精度隨著模型階次的增大而提高，但模型對其他批次實驗的預測精度下降。常用的建模算法還有神經網絡［7-8］、支持向量機［9-10］和時間序列［11-12］等；新的建模方法如無模型數據驅動建模方法［13］和無偏估計法［14］等。神經網絡算法通過增加訓練次數能夠顯著提高熱誤差建模精度，但需要大量的熱誤差樣本數據，不利于在工程應用中推廣。支持向量機算法在處理高維、非線性數據中具有顯著優勢，但算法較為復雜，對補償控制器的性能要求較高。

此外由于機床內外部熱源之間具有復雜的耦合關系［15］，溫度變量之間具有嚴重的多重共線性［16］問題，會進一步造成模型穩健性下降。因此在建模之前通常需要對用于建模的溫度測點進行篩選，即溫度敏感點（Temperature Sensitive Points，TSP）選擇［17］。模糊聚類結合灰色關聯算法（Fuzzy clustering combined with grey correla?tion algorithm，FCGC）［18］常用于 TSP 選擇，該算法首先對溫度測點進行分類以降低溫度測點之間共線性的影響，然后從每一類中選擇與熱誤差相關性最大的溫度測點作為TSP。按照這一思想，有學者提出粗糙集理論結合灰色關聯度算法［19］和模糊聚類結合相關系數算法［20］等 TSP 選擇算法。同時有學者基于其它思路進行TSP 選擇，Tan et al. 提出一種基于包裝機器方法的TSP 選擇算法［21］；Fu et al. 提出一種將機床劃分為不同區域，進而從不同區域中選擇全局最優TSP 的方法［22］。

主成分回歸（Principle Component Regres?sion，PCR）［23-24］、嶺回歸［25］和偏最小二乘［26］等偏回歸算法自身能夠有效抑制自變量間多重共線性的影響，有學者使用這些算法建立熱誤差預測模型，并取得了較好的預測效果。但存在的問題是當外部環境溫度變化較大時，模型的穩健性難以得到保證。對此，本文對全年范圍內的機床主軸熱誤差數據進行分析，提出了基于主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）的熱誤差穩健建模算法。該算法不再對溫度變量進行分類，而是直接基于PCA 選擇對熱誤差影響權重大的溫度變量作為TSP，以保證參與建模的溫度變量中包含充分的溫度信息。進而使用PCR 算法建立熱誤差預測模型，以消除TSP 之間共線性對建模效果的影響。本文以一臺三軸立式加工中心為對象，通過實驗研究分析了本文所提建模算法中TSP 個數對建模效果的影響規律，從而確定最佳的TSP 個數。然后根據TSP 選擇結果建立相應的熱誤差PCR 模型，并將所建立的PCR 模型與多元線性回歸模型、BP 神經網絡模型和嶺回歸模型進行預測效果比對分析。最后，使用所建立的PCR 模型對按照轉速圖譜運行的機床主軸熱誤差進行預測，并將PCR 模型嵌入到熱誤差補償控制器中進行熱誤差補償實驗，以驗證本文建模算法的有效性。實驗結果表明，本文所提基于PCA 的機床主軸穩健建模算法具有高預測精度和高穩健性。本文的研究對于機床主軸熱誤差建模和補償具有重要的理論價值和實際工程意義。

2 主成分建模算法

首先介紹主成分算法基本原理，進而提出基于PCA 的TSP 選擇算法，并分析熱誤差PCR 建模算法。

2.1 PCA 基本原理

PCA 是一種常用的降維算法，該算法可以使用少數不相關的變量，即主成分，取代原有多個相關性較高的變量。設原始數據p個變量x1，x2，…，xp的樣本觀測值為X1，X2，…，Xp，其中Xi=(xi1，xi2，…，xiN)T，i=1，2，…p，N為樣本點個數。則主成分Zi可表示為：

其中，對于每一個i值，需要滿足三個條件：①②maxVar(Zi)；③Zi相互正交。

2.2 基于 PCA 的 TSP 選擇

基于上述基本原理，本文提出一種基于PCA的TSP 選擇算法。該算法首先選擇出貢獻率最低的主成分，然后將該主成分中系數絕對值最大的一個變量剔除，因為該變量對該主成分貢獻率低的影響作用最大。之后對剩余變量進行PCA，并重復上述剔除過程，直至剩余的變量個數滿足TSP 個數要求。這種逐步剔除變量的做法可以保證剩余溫度變量中包含有效的溫度信息，從而簡化模型結構并提高穩健性。本文沒有直接選擇貢獻率最高的主成分中系數絕對值最大的變量作為溫度敏感點，原因在于其余主成分中可能同樣包含重要的溫度信息，其中的變量可能同樣具有較大的影響權重。如果只從貢獻率最高的主成分選擇TSP，有可能出現漏選的情況。基于PCA 的TSP 選擇具體步驟如下：

（1）首先將原始數據 X=(x1，x2，…，xk)標準化得到標準化公式為：

（2）根據原始數據 X=(x1，x2…xk)的相關矩陣R=(ρij)k×k的特征值λi和相應的特征向量，求得主成分Zi：

其 中 ，e?i=[e1i，e2i…eki]T為 相 關 矩 陣R的 特 征向量。

（3）計算出每個主成分的貢獻率，選擇貢獻率最小的一個主成分。第i個主成分的貢獻率Vi為：

其中，λi為相關矩陣R的特征值。從上式中可以看出主成分貢獻率的大小是由特征值決定的。

（4）在貢獻率最小的一個主成分中，選擇對該主成分占最大權重的變量，即模型系數絕對值最大的變量。設貢獻率最小的主成分為Zi，則從Zi的表達式中，挑選出絕對值最大的eji所對應的變量，然后把第j個變量剔除。其中：i，j，k分別表示主成分序號、自變量序號和自變量的個數。

（5）使用剔除之后的變量數據，重復步驟（1）~（4），直至剩余的變量個數為要求的TSP 個數，即完成TSP 選擇。

2.3 基于PCR 的熱誤差建模算法

機床熱誤差數據與溫度數據之間不存在數量級上的差別，因此本文提出使用原始數據的協方差矩陣計算主成分。這樣能夠避免使用相關矩陣計算主成分時，原始數據間的真實離散程度丟失。算法具體步驟如下：

（1）計算原始數據 X=(x1，x2，…，xk)的協方差矩陣Q=(covij)k×k，進而計算其特征值和相應的特征向量，可求得主成分Zi如式（5）所示。

其中，eij為協方差矩陣Q的特征向量

（2）根據累積貢獻率選擇主成分。第i個主成分的貢獻率Vi如式（4）所示，將主成分按照貢獻率降序排列。累積貢獻率Vg指前g個主成分貢獻率的求和。通常選取Vg大于85%的主成分，本文中為了避免數據信息丟失選取Vg大于95%的主成分。

（3）建立因變量y 與所選主成分的回歸模型：

（4）將式（5）帶入回歸方程式（6）中得到原始數據(x1，x2…xk)與因變量y之間的方程式：

其中，常數項b0通過下式計算得到：

上述步驟沒有對原始數據進行標準化處理，因此在建立熱誤差關于主成分的回歸模型后，不需要進行標準化還原。

3 熱誤差測量實驗

3.1 實驗裝置

本文以一臺Vcenter-55 型號的三軸立式加工中心為實驗對象進行熱誤差測量實驗，機床實物如圖1 所示。

圖1 實驗對象：三軸立式加工中心Fig.1 Experimental object：three axis vertical mechining center

熱誤差測量參考國際標準《機床檢驗通則第3 部分：熱效應的確定》（ISO 230-3：2020）［27］，使用五點測量法。在X、Y 和Z 三個方向分別使用2個、2 個和 1 個測量精度為 1 μm 的高精度電容位移傳感器，如圖2 所示。

圖2 位移傳感器位置Fig.2 Position of displacement sensor

圖2 中T1~T9 為同步測量機床9 處關鍵位置溫度信息的鉑電阻溫度傳感器，測量精度為0.1 ℃。T10 沒有在圖中畫出，位于機床外殼上測量環境溫度。10 個溫度傳感器安放位置及作用如表1 所示。

表1 溫度傳感器位置及作用Tab.1 Position and function of temperature sensor

3.2 實驗安排

在每批次實驗過程中機床主軸以恒定轉速空轉，工作臺沿X，Y軸向以恒定進給速度往返運行，每運行5 min 測量并保存一次熱誤差和溫度數據，整個實驗過程不低于6 h。本文在全年時間內不同環境溫度下，共進行9 批次熱誤差測量實驗，記為K1-K9，各批次實驗參數如表2 所示。其中主軸轉速設定為 2 000，4 000 和 6 000 r·min-1三種不同轉速。由于本文主要對機床主軸熱誤差進行研究，而工作臺進給速度對機床主軸熱誤差規律影響較小，因此本文在實驗過程中選取一個常用的工作臺進給速度進行實驗，即進給速度設定為1 500 mm·min-1。

表2 各批次實驗參數Tab.2 Experimental parameters of each batch

3.3 實驗數據分析

經過統計，以上各批次實驗的初始環境溫度分布范圍為2.94~32.37 ℃，說明全年環境溫度范圍較大。對實驗數據進一步處理分析，可繪制出各批次實驗的熱誤差變化曲線和溫度變化曲線，圖 3 和 圖 4 為 K1 與 K9 批次實 驗 的 10 個 關 鍵位置的溫度變化曲線。

圖3 K1 批次實驗溫度變化曲線Fig.3 Temperature curve of K1

圖4 K9 批次實驗溫度變化曲線Fig.4 Temperature curve of K9

同理可繪制出9 批次實驗的Z 向熱誤差變化曲線，如圖5 所示，從圖中可觀察出，不同環境溫度下機床熱誤差變化規律存在明顯差別。

圖5 各批次數據Z 向熱誤差變化曲線Fig.5 Thermal errors in Z direction curves of each exper?iment

4 基于主成分的熱誤差模型建立

根據前面介紹的熱誤差建模算法，對9 批次熱誤差數據進行建模分析。首先篩選TSP，然后建立熱誤差PCR 模型，進而分析最佳的TSP個數。

4.1 TSP 選擇

以選擇2 個TSP 為例介紹基于PCA 的TSP選擇過程。如計算K1 批次實驗10 個溫度變量的主成分，其貢獻率如表3 所示。

表3 K1 批次各主成分及貢獻率Tab.3 Principal components and contribution rate of K1

表3 中各主成分是按照貢獻率降序排列后的結果，即Z10貢獻率最低。因此應該首先根據Z10中的變量系數大小來剔除溫度變量。Z10表達式為：

由式（9）可知Z10中變量x10的系數絕對值最大，因此剔除溫度變量T10。然后從剩余的9 個溫度測點數據中重復上述主成分計算和剔除變量的過程，直至剩余2 個溫度變量，即為選擇的TSP。上述過程可通過MATLAB 軟件編程實現，經過計算可得K1~K9 各批次數據的TSP 選擇結果，如表4 所示。

表4 各批次實驗TSP 選擇結果（PCA）Tab.4 Selection results of TSPs of each experiment（PCA）

4.2 PCR 模型的建立

使用所選擇的TSP 建立熱誤差PCR 模型，仍以K1 批次數據為例進行介紹。由表4 可知K1批次數據的TSP 為T1，T7，即建模自變量為ΔT1，ΔT7。根據建模變量的協方差矩陣Q 可得主成分Z1和Z2分別為：

該兩個主成分的貢獻率分別為99.88%和0.12%，因此選取第一個主成分Z1用于建立熱誤差變量y1關于主成分Z1的回歸方程：

將式（10）中第一式代入式（11）中，并進一步計算可得原始數據y1關于ΔT1，ΔT7的回歸方程：

同理可計算得到K2~K7 批次數據的主成分歸模型，不再詳細介紹。

4.3 最佳TSP 個數分析

以上的建模分析是以選擇2 個TSP 為前提的，實際上TSP 個數也會對模型的預測效果產生影響。因此下面基于實驗數據分析TSP 個數對模型預測效果的影響規律，從而確定最佳的TSP個數。

使用K1~K9 批次數據分別選擇1-10 個TSP，并建立相應的PCR 模型，進而對其它各批次數據分別進行預測。模型對單一批次數據的預測效果使用預測殘余標準差S表示，計算公式為：

其中：yk為熱誤差數據點為對應的回歸模型熱誤差預測值。

使用模型對其他批次數據的預測殘余標準差的平均值Smean和標準差Sstd，分別表征模型的預測精度和穩健性，計算公式分別為：

式（14）和（15）中Si為公式（13）計算的模型對Ki批次數據的預測殘余標準差，K=9 為數據批次。將不同批次所建模型的預測效果取平均值，得到不同TSP 個數下模型的預測效果。使用K1~K9 批次數據計算得到不同TSP 個數下的建模效果如圖6 所示。

圖6 TSP 個數對模型預測效果的影響Fig. 6 The influence of the number of TSPs on the pre?diction effect of the model

由圖6 可以觀察出，隨著TSP 個數的增加模型預測精度有所下降，但穩健性逐漸提高。為了平衡模型的預測精度與穩健性，本文選用4 個TSP 建立熱誤差 PCR 模型。

5 模型預測效果分析

為了驗證本文所提PCR 建模算法的有效性，本文使用FCGC 算法選擇TSP，并分別使用MLR、BP 神經網絡和嶺回歸算法建立熱誤差模型。進而比對分析三種熱誤差模型與PCR 模型的建模預測效果。

5.1 比對模型的建立

按照文獻［22］中建模過程，使用 FCGC 篩選 2個TSP，各批次數據的TSP 選擇結果如表5所示。

表5 各批次實驗TSP 選擇結果（FCGC）Tab.5 Selection results of TSPs of each experiment（FC?GC）

基于表5 中TSP 選擇結果，進一步建立熱誤差關于TSP 的MLR 模型，模型系數如表6所示。

表6 各批次實驗MLR 模型系數Tab.6 Model coefficient of MLR of each batch experi?ment

同時根據BP 神經網絡算法使用上述各批次熱誤差實驗數據，建立BP 神經網絡熱誤差模型。所建立的BP 神經網絡結構如圖7 所示，轉移函數選擇線性轉移函數。

圖7 BP 神經網絡結構Fig.7 Structure of BP neural network

BP 神經網絡結構設為輸入層、隱藏層和輸出層，每層節點數分別設定為2 個，3 個和1 個。輸入層兩個節點代表2 個TSP 變量，輸出層1 個節點代表主軸Z 向熱誤差變量。基于實驗數據對BP 神經網絡進行訓練，得到各節點的權值和閾值，完成BP 神經網絡熱誤差預測模型的建立。

同理根據表5 中TSP 選擇結果，可分別建立各批次數據的嶺回歸預測模型，模型系數如表7所示。

表7 各批次實驗嶺回歸模型系數Tab.7 Model coefficient of ridge regression of each batch experiment

5.2 建模效果比對分析

使用上一小節所建立的MLR 模型、BP 神經網絡模型、嶺回歸模型分別對其他各批次數據進行預測。同時使用本文所提的PCR 建模算法，選擇4 個TSP 并建立熱誤差預測模型，并對其他各批次進行預測。四種建模算法對其他各批次數據的擬合精度和預測精度使用公式（13）和（14）計算，其中擬合精度即為建模數據對自身進行預測的預測精度。進而根據公式（15）計算模型的穩健性。

從而得到各批次數據所建模型的擬合精度、預測精度和穩健性，結果分別如圖8~10 所示。

圖8 四種建模算法擬合精度結果Fig.8 Fitting accuracy results of four modeling algo?rithms

圖9 四種建模算法預測精度結果Fig.9 Prediction accuracy results of four modeling algo?rithms

圖10 四種建模算法穩健性結果Fig.10 Robustness results of four modeling algorithms

通過對比各模型的預測結果可知，BP 神經網絡模型的擬合精度最高，但模型的預測精度和穩健性較差。PCR 模型的擬合精度最低，但預測精度和穩健性最高。MLR 預測模型的擬合精度低于BP 神經網絡，但預測精度和穩健性高于BP神經網絡。嶺回歸預測模型相比MLR 和BP 模型具有較高的預測精度和穩健性，但低于PCR 模型。經過計算得到PCR 算法的預測精度和穩健性 分 別 達 到 6.8 μm 和 2.4 μm，相 較 于 常 用 的MLR 算法，模型的預測精度和穩健性分別提升了23.4%和57.7%。通過分析可知，若模型對數據的擬合精度過高，則其預測精度和穩健性會下降。這是由于過高的擬合精度會造成所建立的模型較為敏感，容易受到外部環境變化的干擾，從而對其他批次數據的預測精度和穩健性下降。

5.3 實驗驗證

為了進一步說明本文所建PCR 模型具有高預測精度和高穩健性，本文參考國際標準［27］的轉速圖譜，進行了3 批次驗證實驗，記為V1~V3。國際標準中轉速圖譜選擇的轉速分別為最高轉速的25%，50%，75%和100%。本文中最大主軸轉速設定為6 000 r·min-1，則驗證實驗中不同主軸轉速分別為1 500，3 000，4 500和6 000 r·min-1。三批次驗證實驗的轉速圖譜如圖11 所示，其中每種轉速持續15 min。V1~V3 批次驗證實驗的環境溫度在25.6~26.8 ℃范圍內變化。

圖11 驗證實驗V1~V3 主軸轉速設定Fig.11 Verification experiment V1~V3 spindle speed setting

使用本文所建立PCR 模型對3 批次驗證實驗進行預測，如對使用K1 批次數據建立的熱誤差模型對V1 批次數據進行預測，預測結果如圖12 所示。

圖12 K1 實驗所建模型對V1 的預測結果曲線Fig.12 The curve of V1 predicted by K1 model

觀察圖12 可知，本文所建立的PCR 模型能夠有效對按照轉速圖譜運行的機床主軸熱誤差進行預測。根據計算各批次數據所建立模型對V1~V3 驗證實驗的預測精度為6.12 μm，穩健性為3.43 μm。由此驗證了本文所建立PCR 模型具有高預測精度和高穩健性。

將根據K1 批次實驗所建立的PCR 熱誤差模型嵌入到熱誤差補償控制器后，進行機床主軸熱誤差測量實驗。熱誤差補償控制器的原理［28］是使用數控系統坐標原點偏移功能，根據熱誤差實時預測值實現坐標原點的反向調整，以抵消熱誤差對機床精度的影響。實驗過程中主軸轉速設為6 000 r·min-1，工作臺進給速度為1 500 mm·min-1。在實驗開始2 h 后開啟熱誤差補償功能，以比對補償前后熱誤差情況。熱誤差測量結果如圖13 所示。

圖13 熱誤差補償測量結果Fig.13 Thermal error compensation measurement results

由圖13 可知，補償前熱誤差逐步升高，補償后的熱誤差在-1~+5 μm 范圍內。從而驗證了本文所建立的熱誤差預測模型能夠有效補償機床熱誤差。

6 結 論

本文提出了基于PCA 的TSP 選擇算法和熱誤差建模算法，并進一步建立了主軸熱誤差PCR模型。實驗驗證表明，本文所建立的機床主軸熱誤差預測模型在預測精度和穩健性方面優于MLR 算法、BP 神經網絡算法和嶺回歸算法。根據計算，本文所提建模算法對2.94~32.37 ℃環境溫度范圍內的實驗數據，預測精度和穩健性較MLR 算法分別提升了23.4%和57.7%。將建立的PCR 模型對不同主軸轉速譜下的機床熱誤差進行預測，預測精度和穩健性均較高，并且實際熱誤差補償效果較好。本文所提PCR 機床主軸熱誤差穩健建模算法具有重要理論意義和工程應用價值。