關節臂式坐標測量機的運動學建模

于連棟 ，曹家銘 ，趙會寧 *，賈華坤 ，蒲 松

（1. 合肥工業大學儀器科學與光電工程學院，安徽合肥230009；2. 測量理論與精密儀器安徽省重點實驗室，安徽合肥230009）

1 引 言

關節臂式坐標測量機是一種高精度的幾何量測量儀器，相較于傳統的正交式三坐標測量機，具有測量范圍大、質量輕、便攜性好等優點，廣泛應用于汽車制造、航空航天、大型零件制造等領域［1］。

關節臂式坐標測量機在結構上與工業機器人的相似，因此人們在機器人運動學建模方法的基礎上，改進并建立其運動學模型。目前，DH 模型被認為是最經典的機器人運動學建模理論［2］，但當相鄰關節軸線相互平行時，傳統的四參數DH 模型無法準確地描述相鄰關節之間的結構參數且存在病態性。Hayati 等［3］提出了一種改進的四參數DH 模型，以克服兩個相鄰關節軸線平行或接近平行時出現的病態性。在經典四參數DH模型的基礎上，Veitschegger 等［4］通過增加一項繞y軸結構參數，提出了一種改進的五參數DH 模型。Zhuang 等［5］以 CPC（Complete and Parametri?cally Continuous）模型為基礎，提出了一種直接從運動學模型中識別未知運動學參數的方法。He 等［6］以 POE（Product of Exponential）模型為基礎，提出了一種參數校準模型；Liu 等［7］在 Local POE 模型的基礎上，提出了一種基于位置測量的結構參數標定模型，并以SCARA 機器人和5DOF 鉆床為例開展了實驗，通過仿真和實驗驗證了該校準模型的有效性。Zhao 和 Jiang 等［8-9］分別采用廣義幾何誤差模型減少非幾何參數誤差對關節臂式坐標測量機或者機器人精度的影響。Feng 等［10］在利用模擬退火算法優化的 BP 神經網絡基礎上，提出了一種關節臂式坐標測量機長度誤差修正模型。

但上述關節臂式坐標測量機或者機器人的運動學模型中僅包含結構參數誤差，未考慮旋轉軸的誤差運動對測量精度的影響。關節臂式坐標測量機因其串聯式結構，旋轉軸傾斜誤差運動對其精度的影響呈放大效應。

為進一步提高關節臂式坐標測量機的測量精度，本文研究了旋轉軸傾斜誤差運動分離方法并搭建測試系統，并在DH 模型的基礎上，提出了一種具有旋轉軸傾斜誤差運動補償的關節臂式坐標測量機運動學建模方法，建立了基于空間距離的結構參數誤差標定模型。最后，開展實驗驗證了該模型的有效性。

2 傾斜誤差測試與分離

理想情況下，旋轉軸只有一個繞z軸旋轉的自由度，其他5 個自由度均受到約束，即旋轉軸運動不存在誤差。但在實際情況中，由于旋轉軸零部件的加工、裝配、溫度及使用磨損等誤差的存在，旋轉軸的運動情況與理想狀態之間存在差異，有 6 項運動誤差（徑向誤差δx和δy，軸向誤差δz，傾斜誤差εx和εy和角定位誤差εz），如圖 1 所示。本文僅研究旋轉軸傾斜誤差對關節臂式坐標測量機測量精度的影響。

圖1 旋轉軸的運動誤差Fig.1 Motion errors of rotation axis

2.1 傾斜運動誤差測試

對于旋轉軸傾斜運動誤差的測試，國家軍用標準GJB1801-93《慣性技術測試設備主要性能試驗方法》［11］中已明確規定旋轉軸傾斜誤差的測試方法，即水平儀法和自準直儀法。本文使用自準直儀配合平面反射鏡對旋轉軸的傾斜誤差進行測量。

旋轉軸傾斜誤差測試系統如圖2 所示，由自準直儀、平面反射鏡、被測旋轉軸（主軸及軸套）和支撐架組成。測試過程中，自準直儀、平面反射鏡和主軸需保持共線，測試主軸與軸套之間因加工等誤差而產生的傾斜誤差。

圖2 傾斜誤差測試原理Fig.2 Measuring principle of rotation axis tilt error

主軸和輔助夾具通過螺紋進行配合。平面反射鏡及其調整機構固定在輔助夾具上，控制調整機構使得平面反射鏡的回光十字靶標盡可能地位于自準直儀的視場中心，并保證在主軸旋轉一周的情況下，十字靶標均在自準直儀的視場中。

為保證數據處理效果及繪制曲線的準確性及重復性，需按照固定轉動角度旋轉被測旋轉軸，并記錄圓光柵傳感器的讀數θi以及自準直儀在x和y方向的讀數。

2.2 傾斜誤差分離方法

通常情況下，自準直儀、平面反射鏡和旋轉軸相互之間存在安裝誤差，需要進行剔除。將自準直儀的二維測量數據（x和y兩個方向）中的一階項進一步分解為旋轉軸運動誤差產生的一階項和平面反射鏡安裝誤差所造成的一階項兩個部分，從而更準確地評估旋轉軸的傾斜誤差［12］。

基坐標系o0x0y0z0固定在自準直儀上，o0z0方向與自準直儀的軸向方向重合，坐標系符合右手定則，軸套坐標系o1z1與o0z0的夾角為Δβ，即自準直儀安裝誤差。主軸坐標系o2x2y2z2是在軸套坐標系o1x1y1z1的基礎上，繞o1x1旋轉εx(θ)，再繞o1y1旋轉εy(θ)，最后繞o1z1軸轉動θ。平面反射鏡坐標系o3x3y3z3是在主軸坐標系o2x2y2z2的基礎上，繞o2x2旋轉 Δ?x，再繞o2y2旋轉Δ?y。

根據坐標轉換公式可知：

將式（1）展開，可得到：

式中：Δβy和 Δβx為自準直儀繞著x和y軸的安裝誤 差 ，(Δ?y?cosθi+ Δ?x?sinθi)和 (Δ?y?sinθi-Δ?x?cosθi)為一階項。

因一階項由部分旋轉軸傾斜誤差及平面反射鏡安裝誤差共同組成，不能將一階項全部剔除，需要將一階項中的平面反射鏡安裝誤差剔除，保留一階項中的旋轉軸傾斜誤差。因此，將消除平面反射鏡及自準直儀安裝誤差后獲得的旋轉軸傾斜誤差分別記為εx和εy。εx和εy隨旋轉軸轉動角度θi的變化而變化，存在一一映射關系，可表示為：

將εxi和εyi進行傅里葉級數展開：

3 新型運動學建模方法

3.1 DH 模型

DH 模 型［2］是 由 Denavit 和 Hartenber 于 1955年提出的，廣泛應用于工業機器人或者關節臂式坐標測量機的運動學建模。DH 模型通過齊次坐標轉換矩陣來確定相鄰桿件之間的相對位姿，如圖3 所示。

圖3 DH 模型連桿坐標系Fig.3 Linkage coordinate system of DH model

式中：θi表示關節變量，li表示桿件長度，di表示偏置量，αi表示扭轉角。

3.2 旋轉軸傾斜誤差運動補償方法

如圖4 所示，對各個旋轉軸的傾斜誤差進行 補 償［13-17］，分 別 繞 著x和y方 向 旋 轉εxi和εyi，即可對旋轉軸傾斜誤差運動造成的影響進行補償。

圖4 傾斜誤差運動補償方法Fig.4 Tilt error motion compensation method

建立坐標轉換方程：

因為εx和εy數值較小，對式（6）進行簡化得到：

3.3 具有旋轉軸傾斜誤差補償的運動學模型

在DH 模型的基礎上，考慮到旋轉軸傾斜誤差對相鄰兩個坐標架之間轉換關系的影響，則其轉換關系為：

式中：Areali為旋轉軸的實際坐標系，Ai為旋轉軸的理想坐標系。

因此，自主研制的關節臂式坐標測量機的坐標轉換關系如圖5 所示。建立具有旋轉軸傾斜誤差補償的關節臂式坐標測量機的運動學模型：

圖5 具有旋轉軸傾斜誤差補償的運動學模型Fig.5 Kinematic modeling method with tilt error com?pensation of rotation axis

自主研制的關節臂式坐標測量機旋轉軸圓光柵的物理零位和其建模零位不一致，存在零位誤差，需要進一步修正，即有：

式中：Δθi為關節臂式坐標測量機旋轉軸圓光柵的物理零位與其建模零位之間的差值。

則式（4）和式（5）分別改寫為：

4 距離誤差標定模型

因關節臂式坐標測量機的零部件加工、裝配等誤差的存在，其結構參數的實際值和名義值之間存在差異，故關節臂式坐標測量機的整機裝配完成后，需對其參數誤差進行精確標定［18-19］。為獲得關節臂式坐標測量機精確的結構參數，以自制長度標準件作為距離誤差標定的長度標準量，建立基于空間距離的參數誤差標定模型。

自制長度標準件如圖6 所示，由石英棒及兩端的支撐座等零部件組成。石英棒的熱膨脹系數較小，熱穩定性較高，受溫度變化的影響較小，被選作長度標準件主體。另外，支撐座上錐窩孔與關節臂式坐標測量機校準測頭相匹配，采用自制長度標準件進行關節臂式坐標測量機的結構參數誤差標定實驗數據采集。

圖6 自制長度標準件Fig.6 Home-made length standard parts

假設兩點P1和P2相對于關節臂式坐標測量機 的 基 坐 標 系 (x0，y0，z0) 的 空 間 坐 標 為P1i(x1i，y1i，z1i)，P2i(x2i，y2i，z2i)，則 兩 點 之 間 的 測量距離di為：

假 設P1i(x1i，y1i，z1i)，P2i(x2i，y2i，z2i)之 間 的空間距離名義值為l，可知測量距離和實際距離之間的差值vi為：

根據最小二乘原理，目標函數為：

式（9）中共包含25 項待標定參數，除去冗余參數，將其中 Δθ2~Δθ6，Δα1~Δα5，l1~l5，d2~d5，Zp這 21 項線性無關的參數記為b=為參數向量，其初值為b(0)=

利用L-M 算法即可求得參數向量b的最佳估計值。

5 實 驗

5.1 旋轉軸傾斜誤差測試

利用圖2 所示測試系統，分別對關節臂式坐標測量機6 個旋轉軸的傾斜誤差進行實際測試，并在式（11）的基礎上，對各個旋轉軸的傾斜誤差測量結果進行擬合。每個軸系進行3 次傾斜誤差測試實驗，以保證實驗數據的重復性。

因旋轉軸 3 和 5，4 和 6 的結構相同，僅列出部分旋轉軸測試數據，旋轉軸1~4 的傾斜誤差測量結果、傅里葉級數擬合情況及殘差如圖7 所示。各個旋轉軸在x和y方向的傾斜誤差的原始數據和擬合后殘差如表1 所示。

圖7 部分旋轉軸的傾斜誤差測量結果及擬合曲線Fig.7 Measurement results and fitting curves of tilt error of part of rotating axes

表1 各旋轉軸傾斜誤差運動原始數據及擬合殘差Tab.1 Original data and fitting residuals of tilt error of rotation axes （″）

由圖7 和表1 可知，各軸系旋轉軸的傾斜誤差擬合殘差結果均在0.50″以內，原始數據和擬合曲線的貼合程度較高。

5.2 標定實驗

在關節臂式坐標測量機結構參數誤差的標定過程中，為更加準確地獲得參數向量b的最佳估計值，在其各關節處的采樣數據應盡可能地覆蓋整個關節空間［21］。自制長度標準件兩錐窩孔之間的距離為749.481 mm，具體采樣策略如圖8所示：以關節臂式坐標測量機的基坐標系o-xyz為中心，將自制長度標準件分別放置于3 個位置，位 置 1 與oxy平 面 的 夾 角 為 45°、位 置 2 平 行 于oxy平面、位置 3 與oxy平面的夾角為 90°。

圖8 自制長度標準件的分布情況Fig.8 Distribution of home-made length standard parts

為更加準確地獲得關節式坐標測量機的結構參數，在其各關節處的采樣數據盡可能地覆蓋整個關節空間。參考ASME B4.22 關節式坐標測量機性能評價標準中的單點精度測試方法，每個位置采集800 組數據，共采集2 400 組數據。

以具有旋轉軸傾斜誤差補償的運動學模型作為整機建模方法，結合距離誤差標定模型，利用L-M 算法求解出關節臂式坐標測量機的結構參數。關節臂式坐標測量機標定后的結構參數如表2 所示。分別使用標定前后的關節臂式坐標測量機對自制長度標準件進行測量，測量誤差如圖9 所示。標定前測量標準差為0.345 mm，標定后測量標準差為0.037 mm，對比可知關節臂式坐標測量機的測量誤差減小了近9/10。

表2 標定后結構參數Tab.2 The calibrated kinematic parameters

圖9 標定前后測量自制長度標準件的測量誤差Fig.9 Measurement errors of home-made length stan?dard parts before and after calibration

5.3 對比實驗

為驗證具有旋轉軸傾斜誤差補償的運動學模型的有效性，分別使用DH 模型及具有旋轉軸傾斜誤差補償的運動學模型作為整機建模方法，以關節臂式坐標測量機作為圓心，將自制長度標準件均布放置于4 個不同的位置，每個位置測量50 組長度距離［22］，計算得到測量誤差，對比實驗結果如圖10 所示。最后，分別計算基于兩種不同運動學模型的測量標準差。結果表明，具有旋轉軸傾斜誤差補償的運動學建模方法相比DH 模型，標準件的測量標準差由0.055 mm 減少到0.037 mm。

圖10 基于兩種不同模型的自制長度標準件測量結果比較Fig.10 Comparison of measurement results of homemade length standard parts based on two differ?ent models

6 結 論

針對旋轉軸系傾斜誤差對關節臂式坐標測量機測量精度的影響，本文在DH 模型的基礎上提出了一種具有旋轉軸傾斜誤差補償的運動學模型。以具有旋轉軸傾斜誤差補償的運動學模型作為整機建模方法，使用距離誤差標定模型求解出關節臂式坐標測量機的結構參數。標定實驗結果表明，測量誤差的標準差從0.345 mm（標定前）降低至0.037 mm（標定后）。對比實驗結果表明，相較于DH 模型，使用該模型作為整機建模方法的測量標準差從0.055 mm 減少到0.037 mm，有效地提高了關節臂式坐標測量機的測量精度。實驗結果充分證明了具有旋轉軸傾斜誤差補償的運動學模型的有效性。