發展幾何直觀 提升思維品質
——《數圖形的學問》教學

文|周 紅

【教學內容】

北師大版四年級上冊第93、94 頁。

【教學過程】

一、激趣導入，引發探究

師：咱們的老朋友淘氣在玩“鼴鼠鉆洞”的游戲時，被一個問題難住了，我們一起去看看吧。

（課件出示主題圖）

師：你發現了哪些數學信息？

生：有4 個洞口，任選一個洞口進入，向前走，再任選一個洞口鉆出來。

師：你的觀察力很強，一下子就能抓住問題的關鍵。如果按照這樣的規則走，一共有多少條不同的路線呢？

師：直接說出答案似乎有些困難，那么請你認真思考：有什么好的策略來解決這個問題呢？

（學生獨立思考、動手操作后與同伴交流）

生1：我是用畫圖的方法來解決這個問題的。我用4 個點A、B、C、D 分別表示4 個洞口，每兩點之間的線段表示鼴鼠行走的路線。（如圖）如果鼴鼠從A 洞口進入，向前走，任選一個洞口出來，分別可以從B、C、D 三個洞口出來，就有3 條路線，分別是AB、AC、AD 。

生2：我認為生1 說得不夠全面，我想補充一下，他只說了從A洞口進入的情況，而題目中說任選一個洞口進入，所以鼴鼠還可以從B 洞口進入，向前走，路線有2 條，分別是BC、BD；從C 洞口進入的路線只有1 條CD，加上從A 洞口進入的3 條路線AB、AC、AD，合在一起應該是3+2+1=6（條）。

師：生1 同意生2 的說法嗎？

生1：我同意，他的思考很全面，表達很清楚，既沒有重復也沒有遺漏。

師：能做到有序思考，清楚表達，很了不起，具備數學家的潛質，請同學們思考：從A 洞口進入，向前走的路線為什么是3 條呢？

生：因為一共有4 個洞口，從A 洞口進入向前走，只能從另外3個洞口出來，所以只有3 條路線。

師：這說明什么問題？

生：說明從第一個洞口引出的路線數是由洞口的總個數決定的，路線數比洞口總數少1，每往后一個洞口，依次減少一條路線。

師：這道題還有其他解法嗎？

生：我也是用畫圖的方法解決的，但是我數路線的方法和他不一樣。（如圖）我先數最短的線段有3 條，是AB、BC、CD。接著數比較長的線段有2 條，是AC、BD。最后數最長的線段有1 條，是AD，所以一共也是6 條路線，列式為：3+2+1=6（條）。

師：這個算式里的3、2、1 又分別表示什么呢？

生：因為題目中有4 個點，所以這里的3 表示最短的路線有3條，比較長的線段（2 條短線段組合的）有2 條；最長的線段（3 條短線段組合的）有1 條。

師：不論我們用哪種方法解決這個問題，都遵循了什么樣的原則呢？

生：有序思考。

二、聯系生活，發展應用

師：鼴鼠從洞里鉆出來后，準備坐公交車去菜地旅行，現在已經到達了公交車站，它又遇到了什么問題呢？請看（出示主題圖）——

師：你發現了什么？

生：一共有5 個車站，單程需要準備多少種不同的車票？

師：你是怎樣理解單程票的？

生：單程票就是往一個方向的車票，本題中是從紅薯站開往土豆站方向，只去不回就叫單程票。

師：理解得很深刻。有5 個車站，單程票一共有多少種呢？請同學們利用剛才的經驗，畫一畫、數一數、算一算，并和同伴交流一下。

生1：我認為5 個車站，單程票共有10 種。我把5 個車站看成5 個點A、B、C、D、E，如圖，先從A車站出發，開往E 車站的單程票共有4 種，分別是AB、AC、AD、AE；同理，從B 車站出發，開往E車站的單程票共有3 種，分別是BC、BD、BE；從C 車站出發，開往E 車站的單程票共有2 種，分別是CD、CE；從D 車站出發，開往E 車站的單程票只有1 種，是DE，再把它們加起來4+3+2+1=10（種），所以一共需要準備10 種不同的單程票。

生2：老師，我和生1 的數法不一樣，我先數只有一站路的單程票，共有4 種，分別是AB、BC、CD、DE；接著數含有兩站路的單程票共有3 種，分別是AC、BD、CE；再數含有三站路的單程票共有2 種，分別是AD、BE；最后數四站路的單程票,有1 種，是AE。列式為：4+3+2+1=10（種）。

師：同學們在解決問題時，都做到了有序思考，已經具備了良好的思維品質。想一想，還有沒有其他的方法來解決這道題呢？

生3：我的方法是5×4÷2=10（種）。

師：說來聽聽，你是怎么想的？

生3：一共有5 個車站，把這5 個車站看成5 個點A、B、C、D、E。如圖所示：從每個點（車站）到其他4 個點（車站）都有4 種車票，5 個點（車站）共有4×5=20（種）不同的車票，其中有一半（左下部分）是返程票，所以要用20÷2=10（種），有10 種單程票。如果是求往返的車票共有多少種，直接用4×5=20（種）就可以了。

師：剛才我們解決了4 個點、5 個點共有多少條路線的問題，如果有6 個車站，又需要準備多少種不同的單程票呢？不畫圖，你能解決這個問題嗎？

生：直接用10+5=15（種）就可以了。

師：10 和5 分別表示什么意思呢？

生：10 表示剛才的5 個車站，共有10 種不同的單程票，如果增加1 個車站，那么這個車站和剛才的5 個車站都要產生一種單程票，就會增加5 種單程票，所以用10+5=15（種）。

師：把新問題和已有的知識經驗聯系起來，也是一種很好的解決問題的辦法。你能很快算出7個車站、8 個車站分別需要準備多少種不同的單程票嗎？你發現了什么？

（學生獨立完成，同伴交流方法，分享經驗）

三、歸納總結、拓展提升

師：回顧本節課的學習過程，我們是怎樣研究數圖形的學問的？

生：畫圖、有序地思考。

師：畫圖可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，能幫助我們探索解決問題的思路。

生：畫好圖后，還要結合圖，按照一定的順序去思考，這樣可以做到不重復、不遺漏，從而發現規律，再運用規律去解決復雜的問題。

師：鼴鼠鉆洞和菜地旅行這兩個問題，有什么共同點呢？

生：它們都是研究在一條線段上由于點數的不同，共有多少種不同線段的問題。