分式方程的四種特殊解法

王紅梅

一、拆項(xiàng)法

例1 解方程[1x+2+4xx2-4+22-x=1].

解析：將原方程變形為[1x+2+2·（x+2）+（x-2）（x+2）（x-2）+22-x=1]，應(yīng)用關(guān)系式[x+yxy=1x+1y]，

則[1x+2+2x+2+2x-2-2x-2=1]，即[3x+2=1]，∴x = 1. 經(jīng)檢驗(yàn)x = 1是原分式方程的根.

二、添項(xiàng)法

例2 解方程[x-1x+1+x-4x+4=x-2x+2+x-3x+3].

解析：分式方程兩邊項(xiàng)數(shù)相同，各項(xiàng)都同時(shí)添項(xiàng)加1.

原分式方程化為[1+x-1x+1+1+x-4x+4=1+x-2x+2+1+x-3x+3]，

即[2xx+1+2xx+4=2xx+2+2xx+3]，顯然，x = 0為原分式方程的根.

當(dāng)x≠0時(shí)，上述方程可變形為[1x+1-1x+2=1x+3-1x+4]，得[1（x+1）（x+2）=1（x+3）（x+4）]，

∴（x + 1）（x + 2） = （x + 3）（x + 4），解得[x=-52]. 經(jīng)檢驗(yàn)，x = 0，[x=-52]都是原分式方程的根.

三、兩個(gè)分式相等，若分子相同，則分子為零或兩個(gè)分母相等

例3 解方程[3x-2-4x-1=1x-4-2x-3].

解析：將分式方程兩邊分別通分，得[5-xx2-3x+2=5-xx2-7x+12]，由5 - x = 0，得x = 5.

又由[x2-3x+2=x2-7x+12]，得[x=52]. 經(jīng)檢驗(yàn)，[x=5]， [x=52]都是原分式方程的根.

四、兩個(gè)分式相等，若分子相同，并且分母的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)相同，只有常數(shù)項(xiàng)不同，則化分子為1

例4 解方程[x-8x-9+x-4x-5=x-5x-6+x-7x-8].

解析：將原分式方程每個(gè)分式拆項(xiàng)，得[1+1x-9+1+1x-5=1+1x-6+1+1x-8]，

∴[1x-9+1x-5=1x-6+1x-8]. 兩邊分別通分得[2x-14x2-14x+45=2x-14x2-14x+48]

∴令2x - 14 = 0，得x = 7. 經(jīng)檢驗(yàn)，x = 7是原分式方程的根.