小磁體在金屬管中下落的阻尼運動研究

王鎧澤，陶小平

（中國科學技術大學 物理學院，安徽 合肥 230026）

電磁阻尼是法拉第電磁感應定律預言的重要結果［1，2］，把一個小圓柱形永磁體沿豎直金屬管軸線的上端放入管口，圓柱直徑小于黃銅管的內徑.在磁體沿銅管軸線下落的過程中，小磁體上方銅管的磁通量減小，下方銅管的磁通量增大，銅管中產生感應電流，感應電流的磁場將對下落的小磁體產生阻力作用.如銅管足夠長，磁體下落到管子的一定深度后，速度將達到某一定值，在銅管中作勻速直線運動.現有的實驗已經比較完整地探究了帶有電磁阻尼的動力學過程［3-7］，本文在此基礎上將這種運動特性用于金屬電導率和小磁體磁矩的測量上，設計實驗方案并對相關物理參數進行定量測量.

1 實驗原理

1.1 磁場對渦流的作用力

在磁體沿黃銅管軸線下落的過程中，由于銅管所有部分以相同的速度作切割磁感線運動，所以銅管的任一部分都相當于是電源.如圖1所示，銅管的內半徑為 r1，外半徑為 r2，滿足 r2-r1＜＜r1，平均半徑 a＝（r1+r2）/2，當銅管與小磁體的相對速度大小為v時，銅管中長度為Δz的任一小段沿圓周繞行一周的動生電動勢為

圖1 磁場對渦流的作用

式中Brz是小磁體在銅管上產生的磁感應強度的徑向分量.

長為Δz的一段銅管沿圓周繞行一周的電阻為RΔL，電導為 GΔL.離軸心 r處，截面為 Δzdr沿圓周繞行一周的電導為

所以

式中ρ為銅管電阻率.

Δz段的電流為

Δz段的電流受到磁場的作用力

即

1.2 小磁體產生的磁感應強度

圖2 銅管與運動磁體的作用力

小磁體在銅管上產生的磁感應強度的徑向分量為

所以

1.3 小磁體在金屬管中作勻速直線運動的速度

當小磁體運動到銅管中部位置附近時，銅管所受磁體向下的作用力為

當 L＞＞a時，對式（11）積分并化簡得

當Fz＝m0g時，小磁體作勻速直線運動的速度為

式中 m0是小磁體的質量，ρ為銅管的電阻率，r1、r2分別為銅管的內、外半徑，a為銅管的平均半徑，m為磁體的磁矩，μ0為真空中的磁導率，g為重力加速度.

如果能判斷出小磁體在銅管中部作勻速直線運動，并測出其勻速運動的速度，則根據式（13）可確定小磁體的磁矩.

2 實驗裝置

實驗裝置如圖3所示.電阻率為ρCu的黃銅管一根，銅管中部附近有一些等間距（間距為1.0 cm）的水平小孔.小圓柱磁體的直徑為 8.0 mm，高度為10.0 mm，質量為10.00 g.小磁體在銅管中的下落速度，可用光電門進行測量［8］.

圖3 實驗裝置

為測量鋁的電阻率，本實驗還提供一根與銅管幾何尺寸相同的待測鋁管.

3 實驗結果及分析

3.1 確定小磁體在黃銅管中勻速下落的速度

小磁鐵在銅管中下落時會受到電磁阻力最終達到勻速運動的穩態.可以通過改變光電門的位置，判斷小磁體在銅管中部附近勻速下落的區間，測量出小磁體在銅管中勻速下落的速度.本次實驗采取在中部附近打孔，設置光電門，兩個光電門相距 l＝10 cm.測量20次所得的運動時間如表1所示.

由表1的測量數據得小磁體平均運動時間為

所以小磁體在銅管中勻速運動的速度為

表1 小磁體在銅管中運動時間

3.2 測量圓柱形鋁管的電阻率

測量出待測鋁管（與銅管具有相同幾何尺寸）的長度，內、外半徑以及小磁體在鋁管中勻速下落的速度等物理量，在已知銅的電阻率情況下，可以確定圓柱形鋁管的電阻率.

測量小磁體在鋁管中下落的運動時間如表2所示.由表2得到平均運動時間為

表2 小磁體在鋁管中運動時間

所以小磁體在鋁管中勻速運動的速度為

根據式（13），得到黃銅管和鋁管的電阻率之比為

3.3 測量小磁體的磁矩

測量管的長度、內外半徑以及小磁體在黃銅管中勻速下落的速度，可確定小磁體的磁矩.銅管內外半徑的測量值為:r1＝5.48 mm，r2＝ 7.97 mm，黃銅的電阻率為 ρ＝7.10×10-8Ω·m.由式（13）得

代入求值得

4 結束語

本文研究了在電磁阻尼作用下小磁體在金屬管中的下落運動特性，設計了可以用于測量金屬電阻率和小磁體磁矩的實驗方案.實驗操作簡單易行，數據測量具有較高精度，為磁矩和金屬電阻率等物理量的測量提供了實驗方法.