利用三維球性質(zhì)直觀地推導(dǎo)麥克斯韋速度分布率

孫宇辰，張兆龍

（北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871）

現(xiàn)有大學(xué)熱學(xué)教材，都會(huì)涉及麥克斯韋速度分布律.然而現(xiàn)有教材與論文均未給出一個(gè)直觀同時(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法.大部分教材或直接給出結(jié)果且僅證明結(jié)果符合要求［1］，或在列出方程 f（vx，vy，vz）＝ g（vx）g（vy）g（vz）后直接用“試探解”給出結(jié)果［2］.部分文獻(xiàn)通過(guò)解偏微分方程得到結(jié)果或給出解的唯一性證明，但這樣就會(huì)拘泥于數(shù)學(xué)公式而喪失了物理的直觀.筆者在課后思索并與同學(xué)討論后發(fā)現(xiàn)了一種較為幾何直觀且不用解偏微分方程的證明方法，這樣可以用大多數(shù)學(xué)生能理解的方法嚴(yán)謹(jǐn)直觀地證明麥克斯韋速度分布律，并使學(xué)生能更好地理解麥克斯韋速率分布與某方向上速度分布的關(guān)系并了解三維球的一個(gè)重要性質(zhì).

這篇文章的結(jié)構(gòu)如下:在第二節(jié)引入了球坐標(biāo)系及球臺(tái)側(cè)面積公式，在第三節(jié)用速率分布函數(shù)表示了速度分布函數(shù)，第四節(jié)通過(guò)常微分方程求解麥克斯韋速度分布函數(shù)，第五節(jié)為結(jié)束語(yǔ).

1 關(guān)于三維球的性質(zhì)

為了后文的證明，本節(jié)引入球臺(tái)側(cè)面積公式.如圖1所示，設(shè)三維球的半徑為 r，選定某一特定方向?yàn)閤軸（圖中選取水平方向），球面上某一點(diǎn)與x軸夾角為 θ.下面求出單位 x軸上對(duì)應(yīng)的球臺(tái)側(cè)面積:

圖1 dS為球臺(tái)側(cè)面積，θ為球面上某一點(diǎn)與x軸的夾角

故三維球?qū)?yīng)于單位坐標(biāo)軸的面積與x選擇無(wú)關(guān).

2 由速率分布函數(shù)推出某方向速度分布函數(shù)

根據(jù)上文結(jié)論，容易得到

根據(jù)定義，有

該式得到了 g（vx）的用 f（v）表示的表達(dá)式.

3 求解

在大多數(shù)教科書(shū)中，均有［3］

將式（4）代入式（3），有

由于空間對(duì)稱(chēng)性，g（vx）＝ g（-vx），vg（v）為奇函數(shù)，故有

所以式（5）積分下界的絕對(duì)值可以去掉，即

左右對(duì)vx求導(dǎo)，移項(xiàng)，得

這是 g（vx）的一階線性齊次常微分方程，代入g（0），得

下面確定g（0）的值.由溫度定義可知

又

故有

代入式（4）、（8），得

式（13）、（14）即麥克斯韋速率分布函數(shù)與某方向麥克斯韋速度分布函數(shù).

4 結(jié)語(yǔ)

致謝:本文撰寫(xiě)過(guò)程中得到了北京大學(xué)物理學(xué)院全海濤教授的指導(dǎo)，再次表示衷心感謝.