磁場中荷電粒子動量分量間不對易性和角動量的一個新關系

陳俊風，謝蔚鑫，王 鑫，劉全慧

（湖南大學 物理與微電子科學學院 理論物理研究所，湖南 長沙 410082）

磁性的一個本性是旋轉性，但這一點并不容易理解.例如，麥克斯韋利用渦管構造了磁場的力學模型［1］，很多名家解讀過麥克斯韋的渦管模型［1-3］.較為容易理解的事實是，旋轉參考系中的很多物理現象，可以類比于磁場并借用磁場的理論進行處理［4，5］.關于旋轉運動的力學，近十年來有一個獨立的研究進展.對于約束在超球面上的運動粒子，粒子動量不同分量間的泊松括號或者對易關系不為零，而是正比于角動量的一個分量［參見下文中的式（9）］.本文把粒子動量不同分量間的泊松括號或對易關系都稱為不對易性，而且磁場為穩恒場，但不要求空間分布均勻.

于是，一方面，粒子局限在球面上的自由運動，旋轉是其本性；另一方面，“磁性本質上是旋轉性”（英文原文:magnetism was essentially rotational in nature.這一觀點的歷史源頭及其在認識磁性中的意義，參見文獻［1］及其參考文獻）.由于旋轉性是它們二者的一個共性，應該有類似的描述［6，7］.注意到，磁場中荷電粒子動量不同分量間不對易，球面上運動粒子動量不同分量間也不對易［8，9］，不過這兩個不對易性相差很大.本文的主要結果是，二者可以統一到一個表達式里.

其中 q 為粒子的電荷，pi和 Bi（i＝ 1，2，3）為粒子和磁場的三個空間分量.在量子力學中通過將對應關系轉化為量子力學對易關系或者量子條件［9］.如果式等號的右邊可以改寫為依賴于角動量的形式，則可以從另外一個角度給出“磁性本質上是旋轉性”的明顯形式.

第1節中，將證明式等號的右邊可以改寫為依賴于角動量的形式，但是這個角動量是瞬時角動量.第2節中，將討論這個角動量是否滿足角動量的量子力學定義.第3節是結論.

1 磁場中荷電粒子動量分量間不對易性

考慮到荷電粒子在磁場中受到的洛倫茲力

洛倫茲力公式認為力學動量p的大小不會改變，僅僅改變方向.把洛倫茲力式（2）和拉莫爾旋進動公式比較，立即發現粒子的角速度為

角速度的大小也被稱為拉莫爾頻率.

注意到粒子角速度是一個和參考系無關的性質，但是速度是一個和參考系有關的量.這個參考系中，磁場不含時間.也就是說，粒子速度v必須相對于一個固定參考系，參考圖1.由于磁場在空間的分布和時間無關，粒子的角速度ω也將是空間點的函數.粒子每時刻在空間的不同點，也就是每個瞬時的角速度互不相同.因此，每個時刻粒子都在一個獨自的瞬時平面和瞬時圓周（實際軌跡可能只是圓周的一小段）上.設瞬時圓周的半徑為 ρ＝r-R，則如下關

圖1 固定參考系中的瞬時平面和瞬時圓周

從洛倫茲力公式也可以解出速度v（或者由初始條件決定），這樣從式（6）就可以解出ρ.

把這個結果代入式（1），即得

其中Lk為粒子角動量的三個分量，ρ為粒子瞬時轉動平面中的瞬時半徑.這和二維球面上運動粒子動量不同分量間的經典括號的關系完全一樣［6，7］，不過，在球面上，泊松括號必須換成狄拉克括號.

2 力學角動量的經典和量子力學

在經典力學中，粒子的力學角動量可以針對空間中的任意參考點來定義:

這個定義，不僅僅適用于力學角動量，也適用于正則角動量.

在量子力學中，角動量必須滿足對易關系［Li，Lj］＝i??ijkLk，也就是在經典力學中必須滿足經典對易關系［Li，Lj］＝?ijkLk.在經典和量子力學中，這個關系和定義式（10）是否相容，需要細究.

首先，計算如下泊松括號［Li，Lj］，結果是

把 r＝ρ+R 代入，立即發現，當且僅當 r＝ρ，［Li，Lj］＝?ijkLk.即經典力學中，僅僅對轉動瞬心定義的力學角動量是合適的.

第二，經典力學關系中式（9）中暗含了經典力學運動方程的解式（5）或者式（8）.一般而言，這些關系在量子力學中，只在期待值意義上才成立.

一個細致的問題如下.在量子力學中，如果對瞬心力學角動量，首先必須定義瞬心.問題是，對于穩恒均勻的磁場中的荷電粒子，轉動瞬心的坐標的不同分量不對易［9］.因此，量子力學中是否能定義力學角動量，不容易有個清晰的結論.同時很容易發現，量子力學中，定義角動量的一個恰當方式是定義正則角動量.因此，在量子力學中，正確的步驟是先定義正則角動量，然后再看其他角動量的存在性及其意義.

3 結論

磁場中荷電粒子動量分量間具有不對易性是一個熟知的事實，磁性本質上是旋轉性也是一個熟知的事實.本文認為，把磁場中荷電粒子動量分量間具有不對易性和角動量聯系起來，可以給磁性本質上是旋轉性這個定性事實一個定量的表達式.這個結果，在經典力學中總能成立，但在量子力學中，僅僅在一些波包上求期待值的時候，才能成立.