玻恩規則的實驗檢驗

金芳洲，彭玉平，李慶容，朱小飛

（武昌首義學院 基礎科學部，湖北 武漢 430064）

在量子力學發展的早期，馬克斯·玻恩提出了薛定諤波函數的概率解釋［1，2］，即粒子波函數的模方表示實驗測量結果的概率.利用這種概率解釋及經典波動理論，量子力學的波動力學形式與矩陣力學形式在數學上可以等價.玻恩規則建立了量子力學中的波函數與實驗測量之間的對應關系，但并不能從更基本的原理推導出來.通常的教材［3，4］中是從概率波的角度來解釋玻恩規則，即波函數的統計詮釋.從觀測量的角度，可將玻恩規則簡單的表述如下［5］:一個觀測量對應的本征態和本征值分別為，作用于量子態上，測得的結果為其中的一個本征值oi，對應的測量概率為

縱觀物理學史，常有一些在當時看來非常正確并被廣泛應用的理論，不可避免的被更加基本的新理論取代，而作為新理論在某種情形下的近似.例如，狹義相對論將運動推廣至近光速情形，其在低速情況下的近似可回到經典運動學的描述；量子力學將力學推廣至微觀情形，其在宏觀情況下的近似可回到經典力學的描述.量子力學在微觀物理領域有著極為成功的描述和應用，然而最近有學者嘗試推廣量子力學至更普遍的情形［6，7］，將量子力學作為推廣后的新理論中的一種近似.在新推廣的量子理論中保留了量子力學原有的一些特征，例如量子疊加性、不確定性關系、量子糾纏等.同時也存在一些不同于量子力學描述的情形，如會出現多階量子干涉.按照量子力學中玻恩規則的模方形式，多階量子干涉不會發生，但在新推廣的量子理論中卻可以出現［6，7］.如果能在實驗中觀測到多階干涉效應，則意味著玻恩規則被違反了，以及標準量子力學可能需要修正.因此，有很多研究者嘗試在不同實驗體系上測量多階量子干涉效應來檢驗玻恩規則.本文介紹了光學體系的三縫干涉和自旋體系中檢驗玻恩規則的實驗設計原理，并從改變觀測量的角度對自旋體系中的設計原理作了補充.改進后的方法更契合玻恩規則的標準表述，而且對qutrit系統的初始狀態無特殊要求，或許有利于實驗上的實現.

1 光學三縫干涉實驗檢驗玻恩規則

2010 年，Sinha 等人［8］在“Science”期刊上報道了利用光學三縫干涉實驗來排除量子力學的高階干涉項，用于檢驗玻恩規則.按照量子力學中的玻恩規則，在光的干涉實驗中的光子波函數 ψ（r，t）的模方表示的是在t時刻r位置發現光子的概率，即

如圖1（a）所示，A、B兩個縫構成一個雙縫干涉實驗，在空間r處探測到光子的概率可表示為

圖1

為了方便表述，這里省略了位置符號的角標，并定義PA（B）為僅有 A（B）縫打開時在 r處探測到光子的概率，IAB＝ψ*AψB+ψ*BψA表示二階干涉項.IAB的表達式可進一步改寫為

接下來考慮一個三縫干涉實驗，如圖 1（b）所示.設相干光經過A、B和 C三個縫，在空間 r處探測到光子的概率可表示為

因此，根據玻恩規則，概率等于波函數的模方［式（1）］，光的干涉只發生在兩縫之間，并不存在三條縫共同作用時的干涉效應.但文獻［7］中定義了一個三階干涉項IABC，表示為三縫干涉時在空間r處的光子概率減去各雙縫干涉時的概率加上各單縫時的概率，如下:

在量子力學及經典的波動理論中，IAB通常是非零的，而IABC在所有的波動理論及標準量子理論中均為零.因此，如果在實驗上精確測量出三階干涉項IABC的值，根據其是否為零可以檢驗玻恩規則是否嚴格成立.

Sinha等人［7］設計了巧妙的光學干涉實驗，通過三縫干涉得到了PABC的相對值，通過三個不同雙縫干涉實驗分別得到PAB、PAC、PBC的相對值，通過三個不同的單縫實驗分別得到PA、PB、PC的相對值.有了這七項的值，通過定義式（5）即可得到三階干涉項IABC的大小.為了便于表達實驗的結果，他們定義了參數κ，表示為三階干涉項與非零的二階干涉項和的比值.

采用3種不同的光源和光子計數器分別進行多次實驗，得到結果如下:用激光光源和功率計做實驗得到的結果為 κ＝0.007 3±0.001 8，用激光光源和單光子計數器做實驗得到的結果為 κ＝0.003 4±0.003 8，以及用單光子源和單光子計數器做實驗得到的結果為 κ＝ 0.006 4±0.011 9.由于實驗精度的限制，此單光子的實驗結果并沒有違反玻恩規則.

1.2方法兩組患者均在全麻狀態下實施手術,需注意讓患者在手術前6~8h嚴禁進食進水,以免術中因麻藥反應產生嘔吐,嘔吐物堵塞氣管造成危險。對照組實施開放型手術,即將腦顱打開將瘤體清除。觀察組采用顯微手術方式治療,具體操作如下。

2 基于qutrit體系檢驗玻恩規則［9］

圖2 基于qutrit系統測量三階干涉項的實驗安排示意圖（（a）一個qutrit由一組正交完備的基矢、和組成，其中和是允許的變換；（b）—（h）表示由初態經歷不同的幺正變換Ui制備后的7個量子態（i＝ 1，2，…，7）.每次的實驗中，同一個測量算符M作用在上）

為了清晰比較實驗測得的三階干涉項的相對大小，文獻［9］中也定義了一個歸一化的參數:

基于此原理，文獻［9］在金剛石中單電子自旋態構成的qutrit系統上測量了三階干涉項，測得歸一化參量為 κ＝0.001 7±0.004 5，此實驗結果在誤差范圍內與玻恩規則的預測相符合.

3 基于不同觀測量的玻恩規則檢驗方法

圖3 基于不同觀測量的玻恩規則驗證的示意圖（qutrit系統經過一個U操作到態，然后測量在7種不同的觀測量上的投影概率）

同理，也可以得到三階干涉項的表達式:

圖 4 實驗測得的概率q1，2，…，7以及三階干涉項的值（（a）初態參數時計算的結果；（b）初態參數時計算的結果.不同的初態參數按照玻恩規則計算得到的三階干涉項的值恒為 0）

4 總結

本文首先介紹了光學體系中三縫干涉實驗檢驗玻恩規則的設計原理，然后介紹了基于qutrit體系檢驗玻恩規則的實驗設計原理，并從改變觀測量的角度對qutrit體系中的設計原理作了補充.改進后的方法更契合玻恩規則的標準表述，且對 qutrit系統的初始狀態無特殊要求，或許有利于實驗上的實現.

量子理論與廣義相對論理論是現代物理的兩大重要基礎理論，盡管它們在各自的領域中理論預測與實驗結果高度一致，極為成功，但這兩種理論在某些情況下并不兼容.統一這兩種理論可能需要對其中的某個理論作推廣.如果是對量子理論的推廣，則可能會導致玻恩規則被違反，這一類對三階干涉項進行精確測量的實驗，或許能為玻恩規則的修正提供一定程度上的限制.