基于網孔電流節點電壓的特勒根定理證明

朱 柱，謝 凡，胡積寶

（1.安慶師范大學電子工程與智能制造學院，安徽 安慶 246133；2.金陵科技學院計算機工程學院，江蘇 南京 211169）

特勒根定理[1]是集總電路理論中的一個重要基礎理論，由它可以推導集總電路理論中諸多基本電路定理[2]。該定理與基爾霍夫電流定律（KCL）、基爾霍夫電壓定律（KVL），任意給出兩者便導出第三者；也可由該定理證明互易定理；還可據此定理證明電壓源和電流源共同作用的電路中電源總功率的疊加原理等。現行本科教材以及相關的文獻中對這一定理多以簡單陳述或過于復雜的證明兩種較極端的方式給出[3-8]，這給剛進入本科階段的學生造成學習障礙，不可避免地影響了教與學的效果。為此，本文將給出一種特勒根定理的簡單證明方法，并以此證明互易定理的完整形式，引導理論知識薄弱的低年級本科生深入理解掌握電路的基礎理論，激發他們的學習興趣，增強其認識并構建電路理論知識脈絡和課程思維體系的信心。

1 特勒根定理的基本形式

特勒根定理有兩種存在形式，其一便是熟知的功率守恒，另一種形式與功率守恒結構類似，被稱為似功率守恒。

功率守恒：若集總電路有b條支路，n個節點，設u1,u2,u3,…,ub是滿足KVL的各支路電壓，i1,i2,i3,…,ib是滿足KCL的各節點電流，且電壓電流都為關聯參考方向，則

也即電路中元件吸收功率代數和為零。

似功率守恒：對于具有相同的拓撲結構的電路N和?來 說，u1,u2,u3,…,ub；i1,i2,i3,…,ib；?分別代表兩電路中滿足KVL和KCL的支路電壓、電流，且參考方向關聯，則

式（2）、（3）超越狹義功率范疇，可稱為似功率守恒，然而較式（1）應用空間更廣泛。

2 特勒根定理的證明

大多教學文獻常以基爾霍夫定律和數學拓撲學知識為理論基礎導出特勒根定理。這對于數學基礎薄弱的低年級本科生來說，無論是對理解定理本身，還是對理解證明過程都存在障礙，為此，本文從簡單的網孔電流和節點電壓入手結合基爾霍夫定律，簡化定理的證明。

2.1 基于節點電壓的證明方法

電路N和?結構相同，有n個節點，b條支路，m個網孔，各節點上分別聯結k1,k2,k3,…,kn條支路，各網孔分別串聯l1,l2,l3,…,lm條支路。設每對節點有且僅有一條支路，若存在多條支路用一條支路代替，支路電流取代數和。電路的邊緣支路也構成一個鏡像網孔，則。

將N中所有的支路電壓和N?中對應的支路電流乘積求和，則有，進一步整理得，其中kα是節點α的支路數，而

2.2 基于網孔電流的證明方法

上述兩種方法，僅借助網孔電流和節點電壓便可實現定理證明，避免了大量的拓撲數學理論，簡單易于理解，較適合低年級本科生學習。

3 特勒根定理的應用

互易定理是電路課程的又一重要定理，包括三種形式，證明的講述也是教學難點，現行教材常以網孔法分析線性方程組逐一證明不同形式，過程相對繁瑣，應用特勒根定理，可實現證明過程統一化、簡單化。

圖1為互易網絡N，N0是純電阻部分，N共有b條支路是其不同情況下的電壓和電流。兩種情況下，電壓的參考方向一致，電流的參考方向一致，且電壓電流參考方向關聯，于是有

圖1 互易網絡N

（1）若u1為電壓源電壓，i2為短路電流，互易后，同值電壓源電壓，?短路電流，則；

（2）若i1為電流源電流，u2為開路電壓，互易后，同值電流源電流，開路電壓，則；

（3）若i1為電流源電流，i2為短路電流，互易后，同值電壓源電壓，開路電壓，則。

利用特勒根定理的第二種形式可實現3種形式的互易定理統一證明，過程如下，

N0相同，故上式中各電阻值相等。由以上4式得：

可見，應用特勒根定理可以簡化互易定理的證明，實質上互易定理可視為特勒根定理的一種特例。

4 總結

綜上所述，由節點電壓和網孔電流兩個基本電路參量出發，可以簡單有效地證明特勒根定理，文中給出的兩種方法避免了應用數學拓撲理論證明該定理的常規模式，降低了定理的證明和理解難度，這對低年級的本科學習該課程具有參考價值。