離散型（s，S）隨機存儲模型中有關問題的教學思考

周亞平，郭曉龍，吳春旭

（中國科學技術大學管理學院，安徽 合肥 230026）

存儲論是運籌學的重要內容，在庫存管理決策中有著廣泛的應用。對于隨機性存儲問題，可供選擇的策略主要有（1）定期訂貨；（2）定點訂貨；（3）定期訂貨與定點訂貨相結合，即（s，S）型存儲策略。（s，S）型存儲模型是隨機性存儲問題中的重要模型，其基本假設是：決策者每隔一段時間檢查一次庫存，如果庫存量高于s則不訂貨，庫存量小于s則訂貨，使庫存量達到S。該模型有兩種典型的情形，一是需求量為連續型隨機變量，二是需求量為離散型隨機變量。在（s，S）型存儲策略中，涉及存儲費、缺貨費和訂貨費。存儲費和缺貨費與商品數量有關，訂貨費則與商品數量無關。只要訂貨就存在一次性的訂貨費用，若不訂貨則不產生該費用。（s，S）型存儲策略的基本決策思路：如果決定訂貨，則求出最優的庫存上限S，使存儲費、缺貨費和訂貨費之和的期望值最小?？紤]當庫存不是太低時，是否可以不訂貨。其條件是，當本決策階段不訂貨時，存儲費和缺貨費（此時不存在訂貨費）之和的期望值低于訂貨至S時各項費用之和的期望值。容易證明，這樣的期初庫存（本階段不訂貨更有利）是存在的，滿足上述條件（存儲費和缺貨費之和的期望值低于訂貨至S時的費用的期望值）的最小期初庫存量為（s，S）型存儲策略中的s。

作為存儲問題中常用的模型，（s，S）型存儲策略受到了很多學者的關注。文獻[1]表明最優的最大庫存量和最優的重新訂購點是關于需求分布、訂單成本和缺貨成本的函數[1]。文獻[2]提出了廣義的（s，S）存儲策略，并且發現在一個n周期的問題中，廣義的（s，S）存儲策略是最優的[2]。國內廣泛使用的運籌學教材[3-6]對于離散型（s，S）存儲策略的建模與求解方法存在一些可改進或可拓展之處?；诖?，本文給出了離散型（s，S）存儲策略的分析模型、結論的證明及求解步驟。

1 基本模型

設商品的需求量為隨機離散的，可能的取值為r0，r1，r2，…，rm（從小到大排列），其概率分別為。設C1為每單位商品存儲一個決策階段產生的存儲費，C2為每單位商品缺貨一個決策階段產生的缺貨費，C3為訂貨費（與訂購的商品數量無關），商品的單價為K（K＜C2）。（s，S）存儲策略需要確定：（1）當期初庫存小于什么水平時，必須訂貨；（2）如果訂貨，庫存上限為多少？

為解決上述問題，需要確定訂貨時應該將庫存上限控制在什么水平。將庫存上限S作為被優化的變量，設期初庫存為I，則本階段訂貨所需要的訂貨費為C3+K(S-I)，需要支付的存儲費的期望值為，需要支付的缺貨費的期望值為，各項費用之和的期望值為

使式（1）達到最小的S即最優庫存上限。在較為流行的教材中，對于該問題的處理是將最優庫存上限S只從r0，r1，r2，…，rm中取值作為假設[3-6]。而事實上，S的取值也可能存在其他情況，下面討論最優庫存上限S的可能結果，并給出上述問題的具體結論。

2 模型解法

設r-1=-∞，rm+1=∞，當ri-1≤S≤ri時，

對于i=0,1,2,…,m+1，C(S)形成了m+2段直線，其斜率從K-C2（小于0）逐漸增加到K+C1（大于0），且該分段函數是連續的，具體證明過程如下。

當ri-1≤S≤ri時，

當ri≤S≤ri+1時，

對于S=ri的情況，顯然S-ri=0，ri-S=0。所以，無論用式（2）或者式（3），均有C(S)=C3+，即C(S)是關于S的連續函數。又上述每一段都是關于S的線性函數，所以，C(S)為關于S的分段連續線性函數。因為函數C(S)的斜率從負到正逐漸增加，所以C(S)存在極小值，且該極小值通常在轉折點（r0，r1，r2，…，rm中的一個）上出現。若C(S)在ri處取極小值，則有該點左邊直線的斜率小于等于0，右邊直線的斜率大于等于0。因此，當S≤ri時，≤0；而當S≥ri時，≥0，即

若問題中的各參數滿足條件，則S=ri。注意到該條件中的左邊等價于當ri-1≤S≤ri時，C(S)在這段的直線斜率小于等于0，如果此時等號成立，則C(S)在ri-1≤S≤ri的直線斜率等于0。此時，函數C(S)在整個區間ri-1≤S≤ri中的任意點均為極小值點。同理，如果，則函數C(S)在整個區間ri≤S≤ri+1中的任意點均為極小值點。

根據上面的討論，在多數情況下，C(S)的極小值會是r0，r1，r2，…，rm中的一個。但如果出現了條件（4）的左邊取等號或者右邊取等號的情況，則意味著此時有無窮多個解。此時，為了保證解的唯一性，通常將條件（4）改為

這一更改雖然保證了解的唯一性，但在個別情況（如條件（4）的左邊取等號）下會導致解的遺漏。

本文模型的另外一個問題是，期初庫存水平高于多少時，不訂貨更優？對于該問題的具體求解方法如下。

假設期初庫存為s時，不訂貨比訂貨更有利，即期初庫存s需要滿足下列條件：

上述條件的不等號左邊是期初庫存為s，并且不訂貨時存儲費與缺貨費之和的期望值。顯然，上述條件等價于

容易看出，滿足上述條件的期初庫存s是存在的，由于訂貨費C3＞0，當s=S時，上述條件成立。當s偏離S時（注意S是條件右邊的極小值點），由于C3＞0，所以存在一個使條件（6）成立的s的取值范圍（要求s＜S），滿足該條件的最小的s就是要尋找的期初庫存臨界點。當期初庫存低于該水平時，本階段需要訂貨，并且將庫存量增加到S是最佳的決策；當期初庫存高于該水平時，本階段不需要訂貨。

3 算例與結論

算例1設某公司利用塑料作原料制成產品出售，已知每箱塑料購價為1 600元，訂購費C3=300元，存儲費每箱C1=80元，缺貨費每箱C2=2 100元，原有存儲量I=20箱。已知對原料需求的概率分別為P(r=60)=0.20，P(r=80)=0.20，P(r=100)=0.40，P(r=120)=0.20，其中，r表示貨物箱數，求該公司訂購原料的最佳訂購量。

解根據條件（4）容易求得最優庫存上限S=80箱。又因原有存儲量I=20箱，所以該公司應訂購塑料60箱（如果訂貨的話）。下面求當期初庫存為多少時可以不訂貨，即求（s，S）存儲策略中的s。

由基本模型的討論可知，是否訂貨的庫存臨界值為滿足條件（6）的最小的s。經計算可得條件（6）的右邊等于162 220，當s=60時，條件（6）的左邊等于163 200，大于右邊，條件不成立，故是否訂貨的庫存臨界值在60～80之間。由條件（6）可以求得，1 205/16為滿足該條件的最小的s。因此，當期初庫存大于1 205/16時，無須訂貨；當期初庫存小于該值時，訂貨至庫存量等于80。

算例2某廠對原料需求量的概率分別為P(r=160)=0.1，P(r=170)=0.2，P(r=180)=0.3，P(r=190)=0.3，P(r=200)=0.1，訂貨費C3=6 000元，K=1500元，存儲費C1=100元，缺貨費C2=2 200元，求該廠存儲策略。

解由條件（4）容易求得最優庫存上限S=180。將S=180代入條件（6）的右邊，得到結果為287 400；將s=160代入條件（6）的左邊，得到結果為286 200，因286 200＜287 400，故知s＜160。

而s的具體數值則根據條件（6）進行計算：當s＜160時，條件（6）的左邊為1500s+2 200×[(160-s)×0.1+(170-s)×0.2+(180-s)×0.3+(190-s)×0.3+(200-s)×0.1]，令該表達式等于287 400，可得：s=1108/7。因此，該廠的存儲策略為當期初庫存大于1 108/7時，無須訂貨；當期初庫存小于該值時，訂貨至庫存量等于180。

綜上所述，本文提出的模型給出了離散型（s，S）存儲策略的求解方法，證明了S的取值范圍與解的判別方法，拓展了s的求解方法與結論。以上兩個算例說明本文的模型是有效的。因此，在實際教學過程中，要注重學生獨立思考與批判性思維能力的培養，不唯書、不唯上、只唯實，這樣才能提高學生分析問題和解決問題的能力。