豐富表象與數學模型的構建

【摘 要】數學思維中最簡單、最基礎的活動，就是在主觀意識的支配下，以數學表象為基礎開展的活動。只有通過表象這一橋梁，在多種感官的參與下完成動態的思維過程，才能實現數學模型的構建。

【關鍵詞】表象;數學建模;小學數學

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0221-02

小學數學知識存在抽象性和概括性，而小學生的思維特點是以具體形象思維為主要形式，二者之間形成了矛盾，這也是教師在數學教學中存在的主要困境。解決這一矛盾的重要辦法就是在數學教學中為學生提供各種利于感知的學習材料，運用實驗、操作、觀察等方法，通過比較、分析和綜合、抽象與概括等基本思維方法，創造正確、清晰的數學表象，然后將抽象的知識形象化，從而使學生獲得準確的數學模型。

1? ?現狀透視

1.1? 直觀模糊，表象不深刻

小學生空間觀念的形成是在感知的基礎上，通過觀察、比較、分析等活動獲得點、線、角、面、體的感知與認識，從而逐步形成簡單幾何圖形的形態、大小、位置的表象。心理學研究表明，學生對表象印象越深刻，對知識的本質意義理解也會更深入。但是，剛建立起來的表象存在不穩定、不鮮明的特點，導致學生在解題過程中仍舊錯誤百出[1]。

1.2? 算理不清，表象易混淆

簡便計算是小學數學計算的重要技巧，對培養學生思維的靈活性、創新性和提高學生計算能力具有重要意義。但是，學生在簡便計算過程中容易被算式中的“表象”迷惑。學生在計算過程中，一旦發現可以組合在一起的數字，就不會對算式進行梳理和分析，直接將數字“湊”在了一起，導致結果計算錯誤。

1.3? “表象”定式，缺乏靈活性

在構建不同問題的數學模型時，需要對不同類型的問題進行分析、比較，從而幫助學生對不同的數學模型融會貫通、靈活運用。對于變式題型，教師要幫助學生發現思維的阻點，找出內因，解疑釋惑，培養學生的數學思維，提高學生數學素養。

“求比一個數多（少）幾的數”是兩步加減計算的基礎，更是學生后續利用四則運算解決問題的基礎。這一知識點的重點在于分析數量關系，并確定運算模型。但許多學生看到“少”就用減法，看到“多”就用加法，并沒有對變式的數量關系進行分析與思考，從而導致錯誤

建模。

2? ?研究策略

建構主義理論認為，數學模型的建立是學生在原有知識經驗的基礎上，對新信息重新認識和編碼，從而完善知識結構的過程。而表象是建立感知與抽象知識之間的橋梁，能幫助學生完成知識構建從感性認識向抽象理解的跨越。

2.1? 實踐操作，清晰表象，初步建模

數學表象是以豐富的感知為基礎而建立的，學生感知越豐富，數學表象就越具有概括性、深刻性。教師在教學過程中，可以提供典型的、合適的、凸顯教學內容的學習材料，通過演示、操作，如看一看、拼一拼、折一折、量一量、剪一剪、涂一涂、畫一畫等多樣化操作活動，幫助學生形成豐富的數學表象，促使學生對數學知識的認知由“粗淺”走向“精致”，抽象出本質，從而有效建模[2]。

如在教學“三角形的內角和是180°”這部分內容時，教師可引導學生參與探究活動，通過拼、折、量、算等操作驗證猜想的正確性，豐富解決問題的思路和角度，提升學生的觀察能力和推理能力。教師要遵循學生的認知規律，在進行探究操作之前預測學生的行為，保證學習材料的可操作性，使學生積極參與到活動中。教師要引導學生靈活運用實物、模型、圖片等，幫助學生在頭腦中建立正確而豐富的表象，進而幫助學生理解和掌握數學基礎知識和基本技能。

2.2? 動態演示，深化表象，有效建模

教師應設計結構化、層次性、動態化的學習材料，鼓勵學生自主學習、積極參與教學活動，培養他們的獨立思考能力和探索精神，使學生的數學核心素養得到充分發展。教師要有效利用多媒體、幾何畫板等設備，向學生展示直觀、形象的數學模型。化靜為動，在動態演示過程中，化難為易，幫助學生理解知識以及知識之間的關系，突破認知局限，完善知識結構。

如在教學“數線”這部分內容時，“數線”實際上是數軸的“雛形”，它是刻畫“數”的一種直觀模型，教師要幫助學生認識與表達數的幾何模型。借助數線，學生能夠體會數的順序、大小，而且還可以總結出：“順著數”相當于加法，“倒著數”相當于減法。教師要引導學生用數線來呈現思維過程，并能用數學語言來表達自己的想法，這樣既能體現數形結合思想，又能幫助學生有效地建模。

2.3? 彼此貫通，豐富表象，優化建模

表象的形成是一個逐步產生、發展、自我構建的過程。它以物為媒，以具體操作激發和促進學生的思維發展，能對反映在人腦中的物象，進行有目的的操作思考活動。教師要引導學生在學習過程中自主地對數學表象進行加工、調整、積累、補充、修改、提煉，最后構建起清晰、準確的數學表象，從而幫助學生更好地構建數學模型。即通過原有數學表象對新表象的同化、順應，最終達到認識結構的平衡，取得良好的圖式。

計數器是小學數學常用的教學工具之一，主要作用在于幫助學生理解十進制、位值制、計算法則等概念。如在教學人教版三年級下冊“口算除法”時，教材利用10張為一沓的手工紙幫助學生理解算理，但手工紙只能用于商是整十的口算除法，對于商是整百、整千數的口算除法并不能直觀展示，因而需要教師探尋其他教具、學具，讓學生通過操作、觀察、思考等途徑理解口算除法的算理。

2.4? 學以致用，遷移表象，拓展建模

在經歷了“具體—表象—抽象”的思維發展后，學生能自主通過觀察、思考、操作、比較、分析、概括等深入探究相關數學知識。此時，教師要引導學生對原有的知識體系進行調整、補充與重組，靈活調整教學內容，加入新的教學環節，不斷拓展課堂學習活動。引導學生在探索活動中主動構建數學模型，體會建模的價值，并把它運用到實際問題中。通過解決數學問題，學生能對原有的知識經驗進行遷移，最終形成結構化的數學模型。

教師可設置開放性題目，如題：一盒糖果內有水果味4粒，牛奶味5粒。媽媽買了3盒，你能提出什么問題？

學生會根據自己的生活經驗提出以下問題：

（1）一盒糖果里面有多少粒糖果？

（2）一盒糖果里面牛奶味糖果比水果味糖果多幾粒？

（3）二盒糖果里面分別有幾粒水果味糖果？幾粒牛奶味糖果？

（4）二盒糖果里面水果味糖果比牛奶味糖果多幾粒？

（5）三盒糖果里面分別有幾粒水果味糖果？幾粒牛奶味糖果？

（6）三盒糖果總共多少粒糖果？

（7）三盒糖果里水果味的糖果比牛奶味的糖果一共多了多少粒？

數學的魅力在于促思，學生提出一個問題往往比解決一個問題更重要。教師可將學生提出的這些問題形成“問題云”，把學習的主動權還給學生，讓學生自主探究、主動理解不同問題之間的相通之處，引導學生運用自己喜歡或熟悉的方法來解決這些問題。在全班總結討論之后，教師可引導學生理清不同問題之間的數量關系，幫助學生發現自己的錯誤，從而增強學生的審題意識、提高學生解決問題的能力。

表象對數學建模的作用是相當重要的，因此教師在教學中要重視表象的橋梁作用，幫助學生把抽象的數學知識轉化為直觀、具體的知識結構，形成正確清晰的表象，從而有效建模。另外，教師在教學中也要注意表象的一些“副作用”，加強對學生的引導，幫助學生理解相關數學知識的本質涵義，完善知識結構，正確建模。

【參考文獻】

[1]孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式[J].課程·教材·教法，2012.

[2]周蕾.有機融合巧設活動，多為表征建立“表象”[J].教學月刊（小學版），2019.

【作者簡介】

金佳婕（1986～），女，漢族，浙江杭州人，本科，二級教師。研究方向：小學數學。