基于非線性回歸的含隱節點低壓配電網參數和拓撲聯合辨識

梁 棟，張煜堃，王守相，孫智卿

（1.河北工業大學省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室，天津 300130；2.石家莊科林電氣股份有限公司河北省智能配用電裝備產業技術研究院，石家莊 050222；3.天津大學智能電網教育部重點實驗室，天津 300072；4.國網浙江省電力有限公司杭州供電公司，杭州 310000）

用戶側分布式電源及電動汽車的大量無序接入對配電網的安全可靠運行提出了嚴峻挑戰。低壓配電網LVDN（low-voltage distribution network）直接面向用戶，其運維管理的智能化水平將直接影響客戶滿意度的高低。然而，低壓配電網量大面廣且結構錯綜復雜、布線隱蔽、原始數據缺失、用戶擴改接頻繁等，導致變-線-戶之間的拓撲關系不明確，難以依靠人力進行拓撲關系梳理[1]。參數和拓撲信息的缺失，易導致搶修復電不及時、電壓治理效率低等問題。因此，亟需研究低壓配電網的參數和拓撲辨識技術，提升電網運行靈活性和精細化管理水平[2]。

高級量測體系的普及，帶來了前所未有的大量數據，為基于數據驅動的參數和拓撲辨識提供了可能[3]。高壓輸電網及中壓配電網拓撲結構較為清晰[4-5]，其拓撲辨識問題一般假設網架結構已知，僅識別線路的聯通狀態[6-12]；而低壓配電網網架結構未知，需要依靠多時段量測數據恢復出網絡拓撲。已有相關文獻研究了基于智能電表數據的低壓配電網相別識別[13]、拓撲糾錯[14-15]、參數估計[16]等，但未涉及節點連接關系的重建。在拓撲辨識方面，文獻[17]借助專用硬件設備實現了拓撲自動識別；文獻[18-21]假設不同節點之間注入功率獨立，引入概率圖模型描述相鄰節點與二階鄰居節點之間的相關性；文獻[22-23]通過節點電壓相關性判斷節點連接關系，相關性強的節點屬于同一條饋線，然后通過電壓幅值判斷節點上下游關系，該方法應用于結構復雜的配電網時有一定的局限性；文獻[24]采用主成分分析法推斷低壓配電網的相位與拓撲結構，并結合圖論逐步構建網絡拓撲；文獻[25]考慮量測數據采集期間拓撲的變化，采用與期望最大化算法相似的方法對參數、拓撲進行交替迭代辨識。

然而，在低壓配電網中往往只有終端用戶裝有智能電表，而網絡中存在注入功率為0的“隱節點”且數量未知。前述文獻僅能識別可觀測的負荷節點的連接關系，對含有未知數量隱節點的低壓配電網拓撲辨識無能為力。針對含隱節點配電網的拓撲辨識問題，文獻[26-27]引入了統計領域中用于學習隱樹結構圖模型的遞歸聚合算法，基于節點間的可加性距離判斷節點對的父子或兄弟關系；文獻[28-29]基于線性化電壓降方程，提出了低壓配電網拓撲及參數辨識方法，從葉節點到根節點依次構建網絡拓撲，但文中采用了線性近似的線路電壓降模型，影響了拓撲辨識精度。

1 基于線性回歸的參數和拓撲辨識

低壓配電網可看作一棵以配電變壓器低壓側為根節點的樹，如圖1所示。圖中，黑色節點為末端負荷節點（可觀測節點），白色節點為網絡內部無負荷的分支節點（隱節點）。在僅給定用戶節點量測數據的條件下，由于存在數量、位置均無法預知的隱節點，導致全網節點數量未知，增加了參數和拓撲辨識的難度。文獻[28]提出了一種基于線性回歸的低壓配電網拓撲辨識方法，其核心是基于線性電壓降模型判定節點對的串、并聯關系，對其簡要介紹如下。

圖1 隱節點示意Fig.1 Schematic of latent nodes

1.1 線路的線性電壓降模型

線路i-j的電壓降可采用線性方程[28]估算為

式中：Vi、Vj分別為節點i、j的電壓幅值；Rj和Xj分別為以節點j為末節點的線路的電阻和電抗；Pj和Qj分別為節點j從電網抽取的有功和無功功率；IRj和IXj分別為節點j從電網抽取的有功和無功電流。實踐表明，式（1）在大多數情況下精度足夠準確。

1.2 基于線性回歸的參數和拓撲辨識方法

線路電壓降示意如圖2所示。若節點對（1，2）相并聯，且具有共同的父節點0，則由線性電壓降模型可得

圖2 線路電壓降示意Fig.2 Schematic of line voltage drop

式中：V0、V1、V2分別為節點0、1、2的電壓幅值；R1、R2和X1、X2分別為以節點1、2為末節點的線路的電阻和電抗；P1、P2和Q1、Q2分別為節點1、2的有功和無功負荷；IR1、IR2和IX1、IX2分別為節點1、2的有功和無功電流，。

式（2）中的二式相減，可得并聯節點對（1，2）的電氣參量近似關系式，即

2 基于非線性回歸的參數和拓撲辨識

由于線性電壓降方程忽略了線路損耗，基于線性回歸的參數和拓撲辨識方法精度有限。因此，本文采用精確的非線性電壓降方程進行非線性回歸，以實現更高精度的參數和拓撲聯合辨識。

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2.1 線路的非線性電壓降模型

線路電壓降相量如圖3所示。根據圖3，可得節點0、1的電壓幅值關系為

圖3 線路電壓降相量Fig.3 Phasor of line voltage drop

2.2 基于非線性回歸的參數和拓撲辨識方法

該模型為非凸優化問題，無法采用CPLEX等凸優化求解器進行求解。可采用高斯-牛頓法或Levenberg-Marquardt法等無約束非線性優化算法求解，迭代初值可根據線性最小二乘估計結果式（7）進行設置。

2.3 算法流程

圖4 算法流程Fig.4 Flow chart of the proposed algorithm

2.3 多觀測節點并聯處理

當超過2個負荷節點相并聯時，可能產生小阻抗支路。小阻抗支路刪除示意簡單網絡如圖5所示，算法首先識別其中2個并聯節點1、2，并增加一個隱節點10 000作為其父節點；進一步將節點10 000與節點3形成兄弟節點，從而導致拓撲辨識結果與真實拓撲不同。事實上，線路4-10000阻抗很小，可以刪除。因此可在拓撲辨識結束后，將阻抗估計值小于某一阻抗閾值λ的線路末節點刪除，并將下游節點直接連到上游父節點。

圖5 小阻抗支路刪除示意Fig.5 Schematic of deleting small-impedance branches

3 算例分析

3.1 仿真設置

采用某省3個月的實際用戶負荷進行測試，數據采集間隔為15 min。在測試時，將包含8 000個時刻數據的各用戶負荷曲線分配至測試算例的各個葉節點，并執行時序潮流，得到葉節點的電壓幅值曲線；然后以潮流結果為真值，對葉節點的有功、無功負荷及電壓幅值添加高斯分布隨機誤差，生成量測數據。通過更改量測誤差生成時的隨機數種子，重復50次上述模擬過程，并計算參數和拓撲辨識的平均誤差情況，測試流程如圖6所示。所提方法采用C++編程實現，測試環境為配置i7-8700K處理器和32 G內存的臺式機，時序潮流采用MATPOWER計算[30]，非線性回歸模型采用Leven?berg-Marquardt法求解。測試中，控制參數κ和τ分別取10和0.5。

圖6 算法測試流程Fig.6 Flow chart of test on the proposed algorithm

對負荷節點的有功、無功、電壓幅值3類量測，設計的量測誤差場景如表1所示。

表1 量測誤差設置情況Tab.1 Setting of measurement errors

3.2 評價指標

選擇線路參數估計平均相對誤差MRE（mean relative error）作為參數估計精度指標，第i條線路電阻、電抗MRE計算公式分別為

選擇 RF（robinson foulds）距離[31]來衡量拓撲辨識結果與真實拓撲之間的距離，該指標廣泛應用于衡量具有相同葉節點集合的兩棵樹之間的距離。對于某僅葉節點存在標記的樹T，斷開任一樹枝e后，可得到T的一個二分割（bipartition）πe=Xe|，其中Xe、為被πe分割的2個葉節點子集。若令E（T）是樹T的所有樹枝集合，則T的所有二分割集合為C（T）={πe：e∈E（T）}。樹T1、T2的RF距離示意如圖7所示，定義為在T1的二分割集合C(T1)中不在T2的二分割集合C(T2)中的二分割數量，表示為

圖7 RF距離示意Fig.7 Schematic of RF distance

RF距離可在線性時間內快速計算[32]。以圖7為例，T1的二分割集合C()T1為T2的二分割集合C()T2為

其中，加粗的二分割表示T1和T2不同的二分割，因此DRF(T1,T2)=4。

3.3 14節點低壓配電網測試

采用14節點低壓配電網進行測試。該網絡包含7個負荷節點和6個隱節點，其單線圖如圖8所示。

圖8 14節點低壓配電網單線圖Fig.8 Single-line diagram of 14-node LVDN

首先采用所提方法與原始線性方法[28]進行對比。在每一量測誤差隨機數種子下，應用160，320，…，8 000個量測樣本，采用2種方法分別進行50次參數和拓撲辨識，得到2條RF距離隨量測樣本數量的變化曲線，6種誤差場景1～6共計得到12條RF距離曲線；進而對50個量測誤差隨機數種子下的12條RF距離曲線計算平均值，得到12條平均RF距離隨量測樣本數量的變化曲線，如圖9（a）所示，圖中（LM）表示采用線性方法得到的結果。由圖可見，采用所提方法時，平均RF距離隨量測樣本數量增加而不斷減小，隨電壓幅值量測誤差降低而減??；在量測誤差水平為eP=eQ=1.0%、eV=0.1%下采用8 000個量測樣本時，平均RF距離降低至0，即所有50次拓撲辨識結果全部與真實拓撲完全相同，實現了網絡拓撲的100%準確辨識。而采用原始線性方法時，即使不斷增加量測樣本數量、降低電壓幅值量測誤差，平均RF距離始終無法降低，拓撲辨識精度較差，這是因為該方法采用了線性電壓降模型，忽略線路損耗導致參數估計精度較低，進而導致拓撲辨識精度較低。

圖9 14節點低壓配電網平均RF距離Fig.9 Mean RF distance of 14-node LVDN

然后測試有功、無功量測誤差對辨識精度的影響。令所有有功、無功負荷的量測誤差由1.0%降低至0.5%，采用所提方法重新執行上述參數和拓撲辨識計算，得到6條平均RF距離曲線，如圖9（b）所示。由圖可見，平均RF距離曲線與圖9（a）基本相同，說明辨識精度主要取決于電壓幅值量測誤差水平，而受有功、無功負荷的量測誤差影響較小。

最后測試線路參數估計精度。采用N=8 000個量測樣本，采用所提方法對以7個負荷節點為末節點的7條線路的電阻、電抗估計值MRE如圖10所示。由圖可見，參數的估計誤差基本上隨電壓幅值量測誤差降低而降低。

圖10 14節點低壓配電網參數估計MRE（N=8 000）Fig.10 MRE of estimated parameters of 14-node LVDN（N=8 000）

綜上可見，對含隱節點的低壓配電網進行完全拓撲重建需要較多歷史數據。在實際電網典型的功率、電壓量測誤差水平eP=eQ=1.0%、eV=0.2%下，即使采用8 000個量測樣本，仍無法實現高精度的拓撲辨識；這是由于實際采集的用電數據質量較差，用戶時常存在功率接近0的情況。若要進一步提升辨識精度，需要采用更多的歷史量測數據。

3.4 19節點低壓配電網測試

采用的19節點低壓配電網如圖11所示，測試當多個節點并聯情況下所提方法的辨識性能。該網絡包含12個負荷節點和6個隱節點，最多存在6個負荷節點相并聯。

圖11 19節點低壓配電網單線圖Fig.11 Single-line diagram of 19-node LVDN

19節點低壓配電網平均RF距離如圖12所示。采用所提測試方法得到6條平均RF距離隨量測樣本數量的變化曲線，如圖12（a）所示；刪除電阻、電抗均小于0.05 Ω的線路（λ=0.05），得到平均RF距離曲線，如圖12（b）所示；最后，刪除電阻、電抗均小于0.10 Ω的線路（λ=0.10），得到平均RF距離曲線，如圖12（c）所示。由圖12可見，總體上所提方法的拓撲辨識精度仍然隨量測樣本數量增加而提升、隨電壓幅值量測誤差降低而提升。在圖12（a）中，即使在量測誤差水平為eP=eQ=1.0%、eV=0.1%下，采用8 000個量測樣本時，平均RF距離也無法降低至0，這是因為多個負荷節點相并聯導致拓撲構建過程中產生了部分小阻抗支路，從而導致拓撲辨識結果與真實拓撲不同。圖12（b）中，采用所提小阻抗線路刪除策略刪除電阻、電抗均小于0.05 Ω的線路后，eV=0.2%～0.5%時的平均RF距離下降不明顯，而eV=0.1%時的平均RF距離產生了較明顯的下降；相似地，圖12（c）中，采用所提小阻抗線路刪除策略刪除電阻、電抗均小于0.10 Ω的線路后，eV=0.2%～0.5%時的平均RF距離依然下降不明顯，而eV=0.1%時平均RF距離進一步下降，當量測樣本數量達到8 000時，平均RF距離已非常接近0，驗證了所提方法的有效性。

圖12 19節點低壓配電網平均RF距離（eP=eQ=1.0%）Fig.12 Mean RF distance of 19-node LVDN（eP=eQ=1.0%）

在計算時間方面，所提方法首先執行線性最小二乘估計獲取線路參數的初值，進而迭代求解非線性最小二乘估計模型，因此其耗時高于線性方法。然而，所提方法的計算時間仍然較少，這是因為每個非線性參數估計模型規模非常小，僅有4個參數變量待求解，因此計算速度非?？欤敳捎? 000個時間斷面量測數據時，每個非線性參數估計模型求解時間僅約0.02 s；另一方面，參數和拓撲辨識是離線應用，沒有非常強的實時性要求，因此計算速度可以接受。

綜上可見，所提方法計算速度快，且較現有方法顯著提升了辨識精度。然而，測試結果也顯示當量測誤差較大時，拓撲辨識和參數估計的誤差仍然較大，這是因為所建立的非線性最小二乘估計模型仍然存在著誤差，導致估計結果并非極大似然估計，其原因為最小二乘估計與極大似然估計等價的前提是模型精確、僅觀測誤差服從獨立高斯分布。然而，觀測模型式（5）、式（11）中觀測向量 ΔVij(t)和系數矩陣αij(t)、非線性觀測函數中均存在隨機量測誤差（有功、無功負荷和電流均存在量測誤差），因此，無論求解線性回歸模型式（6）、式（7），還是求解非線性回歸模型式（12），均無法獲得線路參數的一致估計，即當增加量測數量至無窮大時線路參數無法保證收斂于真值。后續將在本文研究基礎上考慮所有量測誤差，建立具有無偏一致特性的模型，以提升辨識精度。

4 結語

本文提出了一種基于非線性回歸的含隱節點低壓配電網的參數和拓撲聯合辨識方法，基于線路的非線性電壓降方程推導出了任意兩節點串、并聯關系的判據，建立了基于節點多時段有功、無功負荷和電壓幅值量測的非線性參數估計模型，提出了自下而上的參數估計和拓撲重建算法。所提方法計算速度快，且較現有方法顯著提升了辨識精度，可為低壓配電網的故障運維提供有力支撐。然而，所提方法模型仍存在近似誤差，且僅考慮了單相網絡，未考慮低壓配電網三相間的耦合影響及量測壞數據等問題。未來將在本文研究基礎上進一步考慮所有量測誤差，建立具有無偏一致特性的高精度辨識模型，并開展三相低壓配電網的抗差參數和拓撲辨識研究。