凸顯轉化，促進算理理解與算法掌握

吳玉蘭

【摘 ? 要】“除數是小數的小數除法”是小數除法單元學習的難點，理解算理的關鍵在于體會轉化思想，其實質是被除數和除數同步轉化后的計數單位細分。基于學習路徑分析進行單元整體教學時，可以借助單位換算、運算律、直觀圖等方式，理解被除數和除數的同步轉化，并能在理解算理的基礎上抽象出豎式計算方法。

【關鍵詞】小數除法;轉化;理解算理;豎式算法

基于學習路徑分析，“除數是小數的小數除法”是“小數單元”核心課時中的最后一課時。從對學生的前期調查中可見，會用豎式計算“除數是小數的小數除法”并能解釋算理的學生占比很少?？梢姡俺龜凳切档男党ā笔潜締卧獙W習的難點。

在本單元前兩節課“小數除法”活動課以及“除數是整數的小數除法”的學習過程中，學生經歷了計數單位細分的活動過程，并能在橫式、豎式的聯結中理解了“除數是整數的小數除法”的算理，掌握了豎式算法。這為本節課的算理理解與算法掌握奠定了良好的基礎。因此，本節課可以繼續以“元、角、分”為模型，以問題解決多樣化為載體，凸顯轉化的必要性與可能性，在轉化的背景下理解“除數是小數的小數除法”的算理，并抽象出相應的豎式計算方法。

【教學過程】

（一）情境引入，提出問題

師：月底到了，笑笑和淘氣分別收到了移動公司的一條短信（如圖1）。你們覺得誰打電話的時間長一些？

生：我覺得淘氣打電話的時間長，因為他的通話費比笑笑多很多。

生：我覺得不一定，淘氣雖然通話費多，但他每一分鐘的錢也比笑笑多很多。

師：到底誰打電話的時間長呢？接下來我們一起來解決。

（評析：本單元的前兩節核心課，都創設了分錢的情境，借助人民幣的轉化來解釋說理。因此，本課仍創設與人民幣相關的實際情境，為學生的解釋說理創設條件。）

（二）理解算理，探究算法

教師出示學習任務一：國內長途每分鐘0.3元，笑笑付了5.1元通話費。求笑笑打電話的時長。

1.自主探究，解決問題

教師出示活動要求：想一想，可以怎樣算？寫一寫你的方法（有幾種寫幾種）。

學生獨立思考解決問題。

2.分享交流，體會轉化

（1）同桌交流：向同桌介紹你的方法，想一想不同的方法之間有沒有相同的地方。

（2）全班交流：誰愿意與大家來分享你的方法？

生：把元化成角，5.1元=51角，0.3元=3角，51[÷]3=17（分）。

師：還有誰也用了這樣的方法？你為什么要把元轉化成角？

生：因為用元作單位計算時是小數除以小數，不會算;用角作單位就變成了整數除以整數，很好算。

師：簡單的一步單位換算，就把不會的轉化為會的，這種方法真好！有不一樣的方法嗎？

生：我是用商不變性質來想的。根據商不變性質，把5.1和0.3同時乘10，5.1[÷]0.3=（5.1[×]10）[÷]（0.3[×]10）=51[÷]3=17（分），這樣也能得到笑笑打了17分鐘電話。

師：為什么要把被除數和除數同時乘10，而不是乘2或者乘3？

生：因為同時乘10后就能把小數除法變成整數除法。

師：觀察這兩種方法，有沒有相同的地方？

生：都把除數是小數的除法變成了除數是整數的除法。

生：都把不會的變成會的。

師：是的，無論是單位換算，還是用商不變性質，都是把沒有學過的“除數是小數的除法”轉化成“除數是整數的除法”，用舊知識解決了新問題。

3.詮釋轉化，理解算理

（1）數形結合，探究豎式算法。

生：老師，我有個問題，小數除以小數能列豎式計算嗎？

師：這是個很好的問題。小數除以小數，能不能列豎式計算呢？能的話豎式又該怎么列呢？我們一起來試一試。

教師出示活動要求：列豎式計算5.1[÷]0.3，想一想，為什么這樣列？可以在圖（如圖2）中圈一圈來說明。

（2）詮釋轉化，理解豎式算理。

教師展示三幅學生作品（如圖3），提問：有什么想問的嗎？

生：我們是要算5.1[÷]0.3，但豎式①是在算51[÷]3，這樣可以嗎？

師：豎式①的主人能解釋嗎？

生：我覺得可以看這張圖（如圖4）。我們可以把5.1看成51個0.1，把0.3看成3個0.1，5.1[÷]0.3就是把3個0.1看成一份，算一算51個0.1里有這樣的幾份，所以也可以用51[÷]3來計算。而且我去圈過了，結果和51[÷]3豎式的得數是一樣的。

師：原來他是從小數的意義出發，把5.1和0.3轉化成了51個0.1和3個0.1來想。這樣列豎式可以嗎？

生：可以，但我覺得如果加一步5.1[÷]0.3=51[÷]3，再列這樣的豎式會更好。這樣我們就能知道為什么列這個豎式了。

生：我想問問豎式②的主人，為什么小數點上要畫個“×”？

生：我其實也想把5.1[÷]0.3變成51[÷]3。畫個“×”就表示原來的小數點不要了，變成了51[÷]3，再用除數是整數的方法來計算。

師：原來你想讓我們更清楚地看出算式轉化的過程。能具體說說每一步分別表示什么嗎？

生：我們也可以結合圖（如圖5）來看，把5.1去掉小數點，看成51個0.1;把0.3去掉小數點，看成3個0.1。先拿出30個0.1，每3個0.1為一份圈一圈，正好可以圈成10份，所以豎式的十位上寫1;剩下的21個0.1再按每3個0.1為一份圈一圈，可以圈這樣的7份，所以豎式的個位上寫7，合起來就是17個0.1。

師：你能借助圖來解釋豎式每一步的意義，真好！

生：我覺得豎式③不大對，因為我們計算整數除法時，要一位一位往下除。他這樣列豎式不是一位一位除的，如果被除數和除數大一點，計算復雜一點，這樣列豎式就有可能算不出結果。

（其他同學紛紛點頭表示同意）

師：你們真會思考，對每一個豎式都提出了自己的看法。現在你覺得哪一個豎式能更清楚地看出我們的思考過程？

生：豎式②，可以清楚地看出把5.1[÷]0.3變成51[÷]3。

（3）對比思考，揭示轉化本質。

師：剛才我們用橫式、圖、豎式解決了笑笑打電話的時長問題?，F在請你觀察這些方法，有什么發現？

生：它們其實都是把被除數和除數同時乘10，轉化成除數是整數的除法。

生：同時乘10后就把幾個1變成了幾個0.1，這樣就把小數除法變成了整數除法，再按照除數是整數的除法去計算就行了。

師：如果變成幾個0.1，除數還不是整數呢？比如，除數是0.03。

生：那就變成幾個0.01。

師：原來我們把1、0.1這樣的計數單位分出更小的計數單位，就能把除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法了。

（評析：除數是小數的小數除法豎式記錄的關鍵在于體會轉化思想，其實質是被除數和除數同步轉化后的計數單位細分。因此在本環節中，引導學生用不同的方法解決問題，并通過將單位進行轉換，利用商不變性質分析題目，以及借助直觀圖與豎式進行溝通聯系等方式，促進學生理解被除數與除數的同步轉化，理解算理，建構豎式的意義。）

（三）練習鞏固，拓展提升

教師出示學習任務二：國際長途每分鐘7.2元，淘氣付了54元通話費。求淘氣打電話的時長。

1.提出任務，嘗試解決

師：解答了笑笑的打電話時長問題，我們再來幫淘氣算一算他打了幾分鐘的電話。

教師出示活動要求：①列豎式計算淘氣的打電話時長;②用其他方法驗算;③和同桌說一說為什么可以這樣算。

2.方法分享，判斷說理

教師展示兩位學生的方法（如圖6）：你支持誰？理由是什么？

生：我同意方法②。如果把7.2元看成72角，54元應該看成540角，那么54[÷]7.2應該轉化成540[÷]72。方法②是對的，方法①變成了54[÷]72，所以是錯的。

師：他結合實際情境，把元轉化成角來解釋說理，真好！有不同的想法嗎？

生：我是把7.2看成72個0.1，54應該變成540個0.1，所以方法②中的豎式才是對的。如果淘氣只打了0.75分鐘，連1分鐘都沒到，話費應該連7.2元都沒到，怎么可能會有54元話費呢？

生：我還用乘法算過了，7.5[×]7.2=54，所以方法②是對的。

師：你們用不同的方法，說明了方法②的豎式列對了，結果也算對了，那他的計算過程看得懂嗎？

生：我們可以這樣想，把72個1角看成1份，540角里可以先分出這樣的7份，個位上寫7;還剩36個1角，正好是72角的一半，也就是有這樣的0.5份，所以在十分位上寫5，所以最后結果是7.5。

生：我是用整數除法來想的。我們用商不變性質把54[÷]7.2變成了540[÷]72，540里有7個72，個位上寫7，分后還剩36，把36再看成360個0.1，除以72后就能得到5個0.1，所以最后結果是7.5。

師：你們不僅能算，還能解釋豎式中每一步的意義，真了不起。

（評析：計算54÷7.2與5.1÷0.3的難度是不一樣的，后者只需進行被除數和除數的同步轉化，再按照整數除法進行計算即可，而前者不但需要進行被除數和除數的同步轉化，還需要進行兩次補0擴充數位。在第一節“小數除法”活動課和第二節“除數是整數的小數除法”的課的學習中，學生對于在被除數后面補0擴充數位、細化計數單位的做法已有了一定的經驗積累，因此在本環節中，放手讓學生去嘗試，在正誤豎式記錄的對比辨析中再次理解被除數與除數的同步轉化，夯實對計數單位細分的理解，溝通小數除法豎式之間的聯系，明晰算理。）

【教學思考】

（一）溝通聯系中體悟轉化，明晰算理

依據建構主義學習理論的觀點，學生認知結構的重組或擴展是學生主動建構數學知識體系的過程?！皽贤撓怠笨梢允钦J識結構更新的一個策略。本課經歷三次溝通：將“借助生活情境解釋”與“利用商不變性質解決問題”進行溝通，尋找相同之處，凸顯轉化思想;結合直觀圖理解豎式記錄每一步的意義，從“數”和“形”兩個角度理解被除數和除數同步轉化的過程;將橫式表征、直觀圖表征與豎式記錄進行溝通并建立聯系，理解轉化，揭示轉化的本質——細化計數單位。在這三次溝通中，建立了“除數是小數的小數除法”與“除數是整數的小數除法”之間的聯系，促進了認知的同化和順應，溝通了小數除法的算理本質，完善了“小數除法”的認知結構。

（二）解釋說理中理解意義，發展思維

計算的本質是推理，計算的過程也是邏輯推理的過程。因此，本課的教學，多次通過“你是怎么想的？”“為什么可以這樣列？”“理由是什么？”這樣的問題引導學生進行解釋說理，理解算法的意義所在。這樣的過程也讓學生經歷了邏輯推理的過程，將計算與思考進一步統一，對逐步提高兒童的思維水平應當有所裨益。

參考文獻：

[1]石秀榮，賈海林.剩之愈小，割之彌細：小學數學五年級上冊《小數除法》單元“深度學習”案例[J].基礎教育課程，2017（5）：20-25.

[2]郜舒竹.小學數學這樣教[M].上海：華東師范大學出版社，2015：102-105.

[3]張冬梅.主動建構 理法相融 促進生長：以《分數乘整數》教學為例談計算教學[J].小學教學設計，2021（6）：33-35.

（浙江省杭州市天長小學 ? 310006）