材料力學剪力、彎矩圖“一筆畫”

○ 文/楊樹宇

在材料力學中，計算梁彎曲時的內力，并繪制剪力、彎矩圖，是力學教學的重要內容，是對梁進行強度計算和剛度校核的依據，同時又是后續課程的很重要的基礎知識。但對大多數學生來說卻是一個難點，在計算截面內力和應用簡捷法、疊加法繪制內力圖時經常出現錯誤，而使內力圖成為力學教學和學習中的一個“瓶頸”，且簡捷法、疊加法繪制時需要分段，然后逐段進行分析、繪制，計算過程相對復雜。針對這個問題，通過幾年來的研究和教學實踐，筆者嘗試使用了一種更直觀、更簡捷的描繪內力圖的方法，并稱之為“剪力、彎矩圖‘一筆畫’”。

之所以稱之為“剪力彎矩圖‘一筆畫’”，是受智力游戲“一筆畫”中不斷筆、不重復地從起點到終點畫出完整圖形的啟發。筆者通過研究發現剪力、彎矩圖的繪制中也有這樣“一筆畫”的規律可循。要一筆繪制出一個完整的剪力或彎矩圖，就要分析清楚各段圖線的線型，各段圖線的連接及圖線的起、終點等 問題。

一、“一筆畫”理論分析

（一）剪力、彎矩圖的線型

由我們已知的知識可知，剪力、彎矩圖圖線是分段繪制出的，在各段中圖線有平行于軸線的直線、斜直線、二次拋物線等基本線型。據微分關系及微分關系的幾何意義可知，剪力、彎矩圖線型與荷載分布形式有緊密聯系：當梁段上無荷載分布時［q(x)=0］，剪力圖圖線是一條平行于桿軸線的直線、彎矩圖圖線是一條斜直線；當梁段上有均勻分布的荷載時［q(x)=常數］，剪力圖圖線是一條斜直線、彎矩圖圖線是一條二次拋物線（如圖1）。這樣內力圖在各梁段上的線型就確定清楚了。

圖1

（二）剪力、彎矩圖各段圖線的連接

當各段的圖線得到了確定后，接下來的問題就是如何“一筆”連接各段線條。這就要搞清楚圖線分段的依據，及剪力、彎矩圖圖線中的連續與突變。

首先，圖線的分段是以梁段上荷載作用的突然變化為分段依據的。而圖線是連續還是突變，就要視荷載情況來分析了：當梁上荷載由無荷載變為有均布荷載時，剪力、彎矩圖圖線將改變線條的形狀或方向，但線條是連續的，不發生突變；當有集中荷載F作用時，剪力圖發生突變，彎矩圖連續；當有集中力偶m作用時，剪力圖不受影響，彎矩圖發生突變，如圖2所示。

圖2

突變時：截取突變截面處的微段分析，如圖3所示。

圖3

得： FQ右=FQ左－F， M右=M左－m

可見突變值的大小為集中力F或集中力偶m的大小。反應在圖形上，剪力圖和彎矩圖在此處的橫坐標不變，縱坐標變化F或m，此時連接前后兩段圖線的線段垂直于軸線，恰好為圖線的縱標線，而圖形在縱標線的連接下被完整的一筆連起來。

據內力計算可知，繪剪力圖時，如果繪制順序是從左向右，那么剪力圖突變的方向正好與荷載的作用方向相同，即遇向下的集中荷載，剪力圖向下突變，反之向上；繪彎矩圖時，彎矩圖突變的方向也與荷載的作用方向相關：遇逆時針外力偶作用時，彎矩圖向上突變（在土建工程類材料力學中，彎矩圖繪制時，基線上方為負），反之向下。

因此剪力、彎矩圖在梁段上的圖線可據荷載作用情況，逐段連續繪制。當無突變時，連續繪制；當有突變時，以縱標線連接連續繪制。(縱標線繪制的方向和大小由外力來定)。

（三）圖線的起、終點

前面分析了圖線繪制過程中可一筆繪制，那么圖線從哪起筆，又從哪收筆呢？對梁的整個圖線來說，其桿件端點內力對應的縱標應為圖線的起點，但桿件端點內力的縱標值也與外力有關。其縱標線的絕對值的大小，在剪力圖中恰好為桿端豎直方向集中力的大小；在彎矩圖中恰好為外力偶矩的大小。此處的縱標線可視為桿端外力外側的截面內力為零，遇有外力作用后產生突變（如圖4）。此縱標的性質與上述“剪力、彎矩圖圖線中的連續與突變”性質一樣。那么，桿端外力外側內力為零，即縱標起點為零。同理終點處縱標也為零。所以在“一筆畫”繪制內力圖時，“一筆畫”的起點為基線的起點，同時終點也恰為基線的終點。

圖4

二、剪力圖“一筆畫”方法

1.計算支反力。

2.確定基線。

3.繪圖線。一般為從基線左端起筆開始向右連續繪圖(稱“從左向右繪圖法”)。

繪剪力圖圖線方法：從基線左端起筆，向右連續繪制首尾相接的圖線段，各種線段為：

（1）遇集中荷載（包括支反力），則沿集中荷載指向，向上或向下繪垂直于基線線段，線段長為集中荷載大小；

（2）遇無荷載梁段，繪平行于基線的圖線；

（3）遇向上（或向下）均布荷載，繪斜向上（或斜向下）直線，斜直線的起點與終點差值為對應梁段上均布荷載的合力值（q·a）。

這樣，一條圖線從基線左端起連續繪至右端時，圖線應回到基線，完成“一筆畫”。再標出各控制點處縱標值及縱標線、符號、圖名、單位等，至此剪力圖繪制完畢。則整條圖線為從基線左端起筆連續繪制線段至基線右端止的圖線。概括為一句話：“剪力圖線走向與荷載方向一致，連續繪制”。(說明：如果從右向左繪制時，圖線走向與荷載方向相反)。

舉例說明：繪如圖5所示梁的內力圖（支反力的計算過程略）。例題剪力圖（FQ圖）說明：如 圖5（b）。

圖5

如圖所示，FQ圖圖線共有八段圖線一筆連接而成：

①-② 段：遇豎直向上集中荷載RA=70kN ——圖線豎直向上畫70，縱標由0至70；

②-③ 段：無荷載梁段——水平直線，縱標70；

③-④ 段：遇豎直向下集中荷載120kN——圖線豎直向下畫120，縱標由70至70－120=－50；

④-⑤ 段：無荷載梁段——水平直線，縱標－50；

⑤-⑥ 段：遇向上均布荷載，合力大小為30×4=120kN——圖線斜向上畫直線，起點與終點差值為120，縱標由－50至－50+120=70；

⑥-⑦ 段：遇豎直向下集中荷載60kN——圖線豎直向下畫60，縱標由70至70－60=10；

⑦-⑧段：遇向下均布荷載，合力大小為20×2=40kN——圖線斜向下畫直線，起點與終點差值為40，縱標由10至10－40=－30；

⑧-⑨ 段：遇豎直向上集中荷載RB=30kN ——圖線豎直向上畫30，縱標由 －30至－30+30=0，且回到了基線。

三、彎矩圖“一筆畫”方法

比起剪力圖的繪制，彎矩圖計算較復雜，數據不易得出，所以不宜直接采用“一筆畫”來繪彎矩圖。但借助剪力圖以面積法來計算，同樣也可方便的“一筆”繪出彎矩圖。方法如下：

1.確定基線。

2.繪圖線。同繪剪力圖一樣，畫彎矩圖時一般也是從左向右連續繪制。

注意：因是借助剪力圖來繪制，而剪力圖中反映不出集中力偶的作用，所以繪彎矩圖時應結合荷載圖中的集中力偶作用，不能丟掉。

繪彎矩圖（M圖）圖線的方法：從基線左端起筆向右連續繪制首尾相接圖線段，各種線段為：

①遇力偶作用，據該力偶矩使向下段梁產生正彎矩（或負彎矩），向上（或向下）繪垂直于基線線段，線段長為該力偶矩大小；或據遇逆時針外力偶作用時，彎矩圖向上突變，反之向下來判斷圖線繪制方向。

②遇剪力圖為等于0直線段，則繪平行于基線 線段；

③遇剪力圖為正水平線段（與基線構成一矩形），則繪斜向下直線；如剪力圖為負水平線段，則繪斜向上直線；繪出的斜直線起點與終點差值為此段剪力圖與基線構成的矩形面積大小；

④遇剪力圖為斜直線時，對應彎矩圖為二次曲線，二次曲線的凸向與斜直線斜向一致，即斜向上直線對應向上凸二次曲線，反之對應向下凸二次曲線。此二次曲線兩端差值△M計算如下：

設剪力圖斜直線的起點、終點剪力值為a、b，斜直線對應基線段長度為L，則對應二次曲線起點、終點差值△M=（b+a）L/2（注意a、b取代數量）。如果計算△M＞0，則二次曲線終點在起點下側，反之如△M＜0，則終點在起點上側。另，在二次曲線段內如有極值，則需另外計算。

如上述方法，一條圖線從基線左端起連續繪制至右端時，應回到基線，然后標出各控制點縱標值、縱標線、符號、圖名、單位等，至此剪力圖繪制完畢。

概括一句話來表達：“彎矩圖圖線走向與剪力圖面積大小及符號一致，連續繪制”。

(說明：如果圖線從右向左繪制時，圖線走向與剪力圖面積符號相反。)

例題M圖說明：如圖4（c）。

如圖所示，彎矩圖圖線共有五段圖線一筆連接而成：

①-② 段：正水平剪力圖線段，面積70×1=70——圖線從基線起，斜向下畫直線，縱標由0至70－0=70。起、終點差值70；

②-③ 段：負水平剪力圖線段，面積50×1=50——圖線斜向上畫直線，縱標由70至70－50=20，起、終點差值20－70=－50；

③-④ 段：集中力偶（使下梁段產生負彎矩）40kN·.m ——圖線豎直向上20－40=－20，縱標由20至20－40=－20，起、終點差值－20－20=－40；

④-⑤ 段：斜向上剪力圖線段面積 △M=〔70-（-50）〕×4／2=40——圖線為二次曲線，終點在起點下側40，起終點差值20－(－20)=40；

⑤-⑥ 段：斜向下剪力圖線段面積 △M=（－30+10）×2／2=－20——圖線為二次曲線，終點在起點上側20的，縱標由20至20－20=0，起終點差值0－20=20，回到基線。

上述繪制剪力圖、彎矩圖的方法，可以認為是面積法計算截面內力與簡捷法繪內力圖的一種有機結合，是將計算過程融合到圖形的繪制當中。特別是這種方法有一顯著的特點，即：由基線起，到基線止，這樣，在繪圖完畢后即可檢驗出圖形繪制是否正確，這有助于我們準確地繪制出內力圖。通過教學實踐，學生們普遍感到這種方法易學易會，簡便快捷，是一種較實用的解題方法。