小學生數學基本活動經驗積累的六個環節

趙瑞生

摘 要 唯有積累數學基本活動經驗，才會形成高質量的“四基”教學。一次完整的數學基本活動經驗的積累過程，可以按照激活經驗、獲取經驗、外化經驗、內化經驗、反思經驗、應用經驗這六個環節依次展開，這是小學生積累數學基本活動經驗的有效路徑。

關鍵詞 小學生 數學 基本活動經驗

《義務教育數學課程標準（2011版）》明確提出“四基”，要求掌握基礎知識，訓練基本技能，積累基本活動經驗，感悟數學基本思想。數學基本活動經驗是其它“三基”形成的源泉;其它“三基”呈現的是形式化、理性、關于結果的知識，而數學基本活動經驗呈現的是情境化、感性、關于過程的知識。雖然它們各自強調了數學知識的不同側面，但只有兩者的有機融合才能形成完整的數學知識結構。因此，只有積累數學基本活動經驗，才會形成高質量的“四基”教學。

數學基本活動經驗是針對學習目標，學生在親自“做數學”的過程中獲得的直接經驗。這樣的經驗具有知識性、動作技能性、情緒體驗性和觀念性等成分[1]（本文側重于知識性成分的形成），具有鮮明的個性特征，體現出學生對數學的真實理解。一次完整的數學基本活動經驗的積累過程，按照激活經驗、獲取經驗、外化經驗、內化經驗、反思經驗、應用經驗這六個環節依次展開。

一、激活經驗

激活經驗是針對新知識，創設情境，運用提問、激趣、操作等手段，從學生熟悉的事例或經歷入手，喚醒學生儲備的已有經驗。學生的數學學習，是在特定的情境中主動運用已有的知識和經驗，嘗試建構新意義的過程。學生在生活中已經積累一些經驗，但這些經驗由于沒有和數學學習目標、數學思維聯系起來，因而稱之為生活經驗。但是，這些經驗對學生學習數學知識又是不可或缺的。教學中，教師設計情境，相機喚醒，這樣的經驗便成為學生理解新知的基礎。教學“分數的初步認識”時，要喚醒學生平均分的經驗。如把一個蘋果平均分給兩個同學，每人分得多少個？學生聯系日常生活中分東西的經驗，自然得出每人分得“半個”。學生心中的“半個”究竟是等分后的半個，還是大半個、小半個，教師并不清楚。于是，安排學生討論。當學生認為“半個”應該是等分后的“半個”，意味著學生平均分的經驗已被激活。

事實上，只有激活已有經驗，并和新知充分融合，產生新的經驗，學生才有可能理解或掌握新知。“教師如果要開展深層次的數學教學，不僅要激發學生的自信與主動，還要整合學生的實踐知識和已有經驗。”[2]因此，數學學習要想方設法找準新知的“起點”，并運用恰當的方法予以激活。

二、獲取經驗

獲取經驗是指學生在親自“做數學”中獲得的直接經驗。教師要給學生提供充分從事數學活動的機會，幫助學生在自主探索和合作交流中獲得廣泛的數學活動經驗[3]。學生在親身經歷的數學活動中的感受、體驗、領悟等經驗，對知識的理解和素養的形成具有決定性作用。有效的數學活動，首先，要有明確的學習目標。比如用紙折圓，可以是手工操作、藝術欣賞，也可以是數學活動。如果以體驗、感悟圓的特征為目標設計活動，這樣的活動就是數學活動。其次，必須提供足夠的時間和空間，為人人參與提供保障。因此，教師要提供足夠的時間和空間，讓每位學生盡可能經歷完整的數學活動并獲取屬于自己的直接經驗。最后，活動設計要有“挑戰性”。既要考慮學生的興趣、需求，還要“跳一跳，摘果子”，讓學生經過意志努力，獨立思考才能獲得。

“經驗不僅是指嘗試的過程，還指承受嘗試的結果。”[4]學生由于解決問題的需要而對活動對象主動地進行觀察、操作、猜想、推理等行為，就是在經歷數學活動過程。經驗是經歷活動“過程”后的“結果”;離開活動“過程”不存在所謂的“經驗”。“正在做的事情、動作和感受的密切關系形成我們所謂的經驗。”[5]活動中，學生能獲取和已有經驗能形成合理的、有本質聯系的直接經驗，但這時的經驗還不嚴格，抑或錯誤，含有主觀、片面的非本質因素。

三、外化經驗

外化經驗是指把具有個性特征的個人經驗在交流中不斷改進、完善。學生親自“做數學”，會嘗試用自己的方式表達對數學的理解，因而獲取的經驗具有個人意義。這是一個“個人建構”的過程。一個班級的學生來自不同的家庭，有不同的稟賦，生活閱歷也各不相同，感悟、體驗數學的水平并不完全一致。因此，在同樣的活動中，學生獲得的經驗會有較大的差異。就某一次具體數學活動而言，可能有人獲得的經驗較為清晰，有人則模糊不清;有人獲得的經驗較為豐富，有人則貧乏;有人獲得的經驗比較全面，有人則片面;有的能獲取經驗的本質，有的則是表面現象等等。要把個人建構的經驗轉化成數學基本活動經驗，克服個人經驗的局限性，需要經歷社會建構的過程。社會建構主義認為認識不是純粹的個人行為，而是不同個體之間表達、交流、質疑、反思，不斷改進提高的過程。如教學“列表的策略”，要求學生整理例題的條件。有的學生只是把題目中的條件原封不動再抄一遍;有的學生在抄的過程中分成了三行，桃樹、杏樹、梨樹各占一行;還有的學生先按照樹的種類進行分類，再列表，然后摘抄每種樹每行幾棵，有幾行。在交流環節，大家發現先分類，再列表，然后摘抄比較好，方便審題、分析數量關系、列式計算和驗算。進一步交流，學生還發現，列表策略的關鍵在分類，至于表格線可畫可不畫，只要排列整齊就行;還可以根據問題來列表，無關的條件不用摘抄。

從上例可以看出，學生的改進不能單純依靠正面示范和反復練習，而需要自我否定，以內在的觀念沖突為必要前提。在小組合作、同伴交流中，學生不同觀點之間充分交流、比較，個體經歷內在的思考、辨析以及教師適時的點撥、引導，淺層的生活經驗轉為理性的學科經驗，模糊的經驗逐漸清晰，片面、有缺陷的經驗也趨于完善，學生各自積累的直接經驗上升為更有價值的數學基本活動經驗。

四、內化經驗

內化經驗是指無需意志努力，能把外化的、比較合理的活動經驗轉化為內在的心理操作。學生對親歷數學活動獲得的經驗進行交流、反思，形成了比較“有條理”的數學基本活動經驗，但此時“有條理”的經驗僅僅是相對于所進行的具體活動的“條理性”的“總結”。經驗具有內隱性。在一次活動中獲得的經驗，學生有時很難自知和表達，如果再進行兩三次類似的數學活動，經歷把經驗運用于新的情境。那么，經驗由于多次“重復”，學生會熟悉運用的程序，此時學生關注的不再是第一步做什么，接下來做什么，而是進入“自動化”階段，由前一個程序自動進入后一個程序。如教學“長方形的面積”。經歷“說出每個長方形的面積是多少平方厘米”（每個圖形里畫出面積單位）和“自己計算長5厘米、寬3厘米的長方形面積”兩個環節，此時，教師不要急于抽象概括長方形的面積公式，可以引導學生再次嘗試計算長8分米，寬6分米和長30米，寬12米的長方形面積。

對這兩個長方形面積的再次推想，“長方形長是幾，每排就擺幾個”“寬是幾，就擺幾排”的經驗將進一步凸顯，這樣的經驗不斷適應新的情境，運用的范圍漸次擴大。經歷多次的交流與反思，此時的經驗和第一次相比，更有條理、更具客觀、更能反映數學活動的本質。已從最初的和情境、實物、感覺等混合在一起，逐漸轉為一些有聯系的心智圖像、表象，以及能獨立加工的符號等。這時，經驗中的數學特性會和具體的情境、細節分離，形成穩定的、可以外顯的、表達的內容。面對不同的問題情境，學生可以嘗試運用經驗來解決問題。雖然情境不同，但每次活動內在的本質相同，因而學生可以嫻熟運用。

五、反思經驗

反思經驗是以獲得的數學基本活動經驗為思考對象，從中抽象概括出數學知識或規律。數學基本活動經驗是感性經驗，不會自動成為數學基礎知識。如果要把感性經驗變成理性的數學基礎知識，關鍵在于反思。通常情況下，我們是把外界的事物或過程作為思考對象，而反思的對象恰恰是我們自己的思考過程，也就是自己要從活動中“脫身”，作為一個旁觀者，思考剛剛開展的活動。此時，已經被“內化”的數學基本活動經驗正是開展反思的絕好素材。要反思，就需要問題引領。通過對問題的思考，抽取經驗的數學本質。如教學“長方形的面積”，可以設計諸如“長方形的面積跟什么有關系？”“長方形的面積與長和寬有什么關系？”等問題。反思中，學生發現長方形的面積與它的長和寬有關系：如果寬不變，長變長，面積就變大;如果長不變，寬變長，面積也變大;如果長和寬同時變長，面積變得更大。長方形的面積跟它包含有多少個面積單位有關，可以用每排的個數×有幾排，而每排的個數等于長，有幾排等于寬，所以長方形面積=長×寬。

反思的目的是把已經“內化”的、能夠進行心理操作的數學基本活動經驗抽象概括為數學基礎知識。學生反思的過程，實際是數學知識的抽象概括過程。在反思前，需要學習和理解知識的本質內容。而一旦理解了知識的本質，就可以用概念、公式或規律等把經驗表征出來。

六、應用經驗

應用經驗指應用新知解決實際問題。人們的正確認識，總要經歷由實踐到認識、由認識到實踐的多次反復。學生理解數學知識不可能一次性完成。需要在初步理解的基礎上，經過多次練習才能掌握，因此要精心設計多層次的練習。

經驗具有連續性。如果將經驗看成一根鏈條，由已有經驗可以生出新的經驗。如果以新的經驗為基礎，還將生出新的經驗。如此循環往復，經驗的鏈條將不斷向前延伸。如果擇機把經驗抽象概括為數學知識，那么，知識也將不斷得到發展。應用經驗還需要把前后獲得的經驗連貫起來，既能縱向發展，又能橫向聯系。比如，學生最初對乘法的認識，是“幾個幾相加”。隨著學習的深入，會逐漸把作為“相同加數”和的等量組聚集模型發展為矩形模型、映射模型、倍數模型等[6]，乘法的概念結構逐漸向縱深發展。當學生能把經驗自如地運用在看似毫無關聯的情境中，表明學生已能把握不同知識的內在聯系，自身的經驗運用愈臻完善。

上述六個環節是一個整體，依次而行。前一環節為后一環節提供基礎，后一環節是前一環節的發展。但六環節之間的順序不是固定不變的，可以根據教學內容、班級學生的具體情況靈活應用。比如激活經驗與獲取經驗兩個環節有時可以合二為一，直接讓學生“做”，在“做”中激活，不用設計一個專門的環節。至于外化經驗、內化經驗、反思經驗這三個環節也不能完全割裂，它們經常交織在一起，外化中蘊含內化和反思，反思中有內化。數學知識作為人類思維的產物，并不容易被理解和掌握。如果遵循學生學習數學的規律，和學生的已有經驗建立聯系，精心設計數學活動，經歷經驗的激活、獲取、外化、內化、反思、應用的過程，不僅能有效地改變學習方式，積累數學基本活動經驗，還能發展數學思維，培養學生數學學科的核心素養。

參考文獻

[1] 仲秀英.學生數學活動經驗的內涵探究[J].課程·教材·教法，2010，30（10）：52-56+80.

[2] PAULUS GERDES.On culture and mathematics teacher e-ducation[J].Journal of Mathematics Teacher Education，1998（01）：33-53.

[3] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4] 杜威.民主主義與教育[M].王承緒，譯. 北京：人民教育出版社，2005：153.

[5] 杜威.哲學的改造[M].許崇清，譯. 北京：商務印書館，2002：46.

[6] 劉加霞.作為“模型”的乘法——對數學概念多元表征的思考[J].小學教學：數學版，2008（10）：46-48.

[責任編輯：陳國慶]