小學數學教學中如何滲透數學思想和數學方法

劉穎

（河北省廊坊市永清縣龍虎莊鄉中心校，河北 廊坊 065600）

數學方法是用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算與分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。而一般性數學方法作為數學方法的一種表現形式，與分類討論法、數學歸納法等特殊性數學方法相比，它更適用于普遍性、基礎性和一般性的數學應用領域，與小學生數學認知生活化、主體化、個性化的特點相符合，因此，我們在小學數學教學中應注重一般性數學方法的教學滲透，為學生有效地獲得數學知識、建構數學認知、形成數學思想奠定基礎。一般性數學方法的常見類型有合情推理、數學抽象、數學化歸、數學模型、數形結合等。

一、合情推理——數學發現的基本方法

合情推理是根據已有事實和正確的結論、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程。在解決問題的過程中，合情推理為猜測、探索提供思路。

（一）采用歸納法進行合情推理：歸納法是從個別事實概括出一般原理的推理方法。例如，在教學《圓的面積》時，教師首先呈現以下圖形供學生觀察后，設問：請根據圓與大、小正方形位置和大小的的關系，猜想圓面積的計算公式？

生1：圓的面積介于小正方形和大正方形之間。

生2：圓的面積介于2r2 和4r2 之間。

生3：估計是3r/2 左右。

（二）獲解原問題的方法。

（1）通過特殊值法實現化歸：“特殊值法”，就是求解一個較一般數學問題遇到困難時，先考慮這個問題的一種特殊情況，找出一種簡單情形進行解決，利用特例的結論再來求解一般問題。

例如：求解甲比乙多1/7，乙比甲少幾分之幾？

一般解：根據條件乙為1，甲為1+1/7；先求乙是甲的幾分之幾？1÷（1+1/7）=7/8；再求乙比甲少幾分之幾，即1—7/8=1/8。條件和問題中單位“1”發生變化，相應甲乙所對應的數值也隨之變化，學生解答時往往會產生混淆，容易出現計算錯誤。

化歸解：根據條件，先假設甲為8，乙為7；再求乙比甲少幾分之幾？（8-7）÷8。用特殊值法解，在始終把握基本數量關系的前提下，使得復雜的數據換算得以簡單化。

（2）通過語義轉換實現化歸：一個數學符號式子的最初意義或常用意義容易被固化，而在問題解決中，式子意義解釋的尋求和提取因環境而異，不同的問題環境會激活不同的意義解釋，不同的意義理解造成問題解決的不同思路和不同難度。

二、數學模型——一數學應用的基本方法

數學模型方法就是對所研究的問題構造出相應的數學模型，通過對數學模型的研究來解決原型問題的方法。從廣義的觀點看，數學概念、性質、法則、公式都是數學模型。從狹義的觀點看，解決小學數學中的具體的數學問題，特別是解答應用題都需要構建數學模型來解決。

（一）數學概念（方法）的建立：數學概念建立或數學方法歸納的過程實質就是建立數學數學模型的過程。學生通過操作、比較、歸納、分析和綜合，在對對象的各個屬性形成較為清晰的表象后，教師引導學生將這些對象屬性進行剖析，將對象的本質屬性抽象出來，并將這種本質屬性概括到同類事物當中去，于是就形成關于對象的數學屬性的基本模型。

（二）運用數學問題的解決：解決數學問題的關鍵步驟就是通過分析數量關系，把題中的實際問題抽象成一個純數學的關系結構，從而構成數學模型，依據該數學模型固有的解決問題的策略進行運算。

三、數形結合——一數學理解的基本方法

數形結合是指將數（或量）與形（或圖）結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略，即根據問題的需要，把數量關系的問題轉化為圖形的性質和特征來研究，或者把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題來研究，從而利用數形的辯證法和各自的優勢，得到解決問題的方法。

（一）以形直觀的表達數：其實質就是抽象對象或關系的“可視化”，將抽象的東西“原型化”，有利于利用形象思維和直觀思維。

借助“形”的直觀建立數學概念。由于概念的抽象與概括性，教學時要向學生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數小棒、搭多邊形中認識整數，在等分圖形中認識分數、小數；利用交集圖理解公因數與公倍數，等等。借助“形”的操作形成數學規則。讓學生明確規則的合理性、理解其推導過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學會學習，實現過程性目標。而數形結合能降低思維難度，讓學生有信心和能力歸納出法則。

借助“形”的啟發獲得解題思路。借助圖形解題的最大優勢是將抽象問題形象化。因為將數量信息反映在圖形上，能直觀表現數量間關系，從而獲得解題思路。尤其在解較復雜的應用題（如“種植株數”、“截斷”等）時，恰當選用線段圖、示意圖、集合圖等，是尋找解題途徑最有效的手段之一。

（二）以數精確地研究形：“形”具有形象直觀的優勢，但也有其粗略和不便于表達的問題，需要以簡潔的數學描述、形式化的數學模型表達，才能使學生更準確地把握“形”的特征。

借助數學語言的描述認識圖形的特征。例如，教學《空間和方位》，教師引導學生掌握用東、南、西、北和東北、西北、東南、西南這些詞語描繪物體所在的方向，用方向、角度數和距離或數對來表示物體所在的位置，使學生認識到以數釋形的精確和周密。

借助數學運算的方式判斷圖形的性質。例如，求解“周長相同的正方形、長方形和圓，哪個面積最大？哪個最?。俊庇捎谧鲌D困難，憑圖形直觀難以判斷，而通過設定特殊值作具體計算，圖形大小關系就比較容易判別了。