課堂教學中對一題多解的點滴感悟

劉培聚 孫海燕 郭丹

摘 要：本文主要是對相似三角形的一題多解的點滴感悟，一題多解是指從不同角度，運用不同的思維方式來解答同一道題的思考方法.在課堂教學中，教師應不僅僅滿足于問題得到解決，而應鼓勵和啟發學生從不同角度尋找解題思路，挖掘學生的潛能，提升學生的思維技能，并且在時間上不吝嗇，激勵學生，使得學生能夠多動腦探究，做到一題多解.在此過程中老師的預案和學生的不同思路，使得原本平淡無奇的數學課堂甚是絢爛.

關鍵詞：一題多解;相似三角形;課堂教學

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）32-0028-02

收稿日期：2021-08-15

作者簡介：劉培聚（1969.4-），高級教師，從事初中數學教學研究.

孫海燕（1976.11-），中學一級教師，從事初中數學教學研究.

郭丹（1994.9-），中學二級教師，從事初中數學教學研究.

近期，在講授相似三角形的判定與性質的習題課中有如下的精彩片段：

片段一：如圖1，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E.

（1）求證：BE=CE;

（2）若BD=2，BE=3，求AC的長.

問題（1）比較簡單，連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，結合等腰三角形的三線合一解決問題，或者連接OE，利用三角形中等邊對等角證明OE∥AB，從而使問題得到解決.

問題（2），我預設的是利用相似三角形的判定與性質解決問題.但康同學的解法是：如圖2，連接CD，利用勾股定理求出CD2=32，再在Rt△ADC中設AB=AC=x，則AD=x-2，由勾股定理列方程得x2=（x-2）2+32，解方程求出AC的長.

康同學能在兩個直角三角形中各用一次勾股定理解決求邊長的問題，說明他已經能夠靈活運用勾股定理來解題了.對于康同學的解法，我給予了肯定與贊同.同時，我又啟發學生思考還有沒有其它解法？通過給予學生足夠的交流探究的時間，學生們找到了利用相似三角形的知識解決問題的方法，思路如下：

如圖3，連接DE， 利用圓的內接四邊形內對角互補，可證得∠BDE=∠C，又由∠B為公共角可證得△BDE∽△BCA，根據對應邊成比例，求出線段AB 的長，即得到AC的長.

由此可見，在課堂教學過程中，不斷給予學生鼓勵和贊許，使得他們能夠有信心多思考，有勇氣表達自己的想法.這樣，教師才能根據課堂反饋的信息，針對學生的掌握情況，制定有效的教學計劃，從而達到事半功倍的效果.

片段二：已知：如圖4，在△ABC中，∠BAD=∠C，∠DAE=∠EAC.

求證：BDAB=DEEC.

由于正在學習相似三角形，因此我的預設是學生可以利用相似和平行線分線段成比例定理解決問題.但阮同學經過思考后認為三角形的形狀固定，面積唯一，可以利用面積法解題.證法如下：

如圖5，過點A作AT⊥BC，過點E作EU⊥AD，EV⊥AC，垂足分別為T，U，V，則S△ADE=12DE·AT，S△ACE=12CE·AT，∴S△ADE∶S△ACE=DE∶CE.又∵AE平分∠DAC，EU⊥AD，EV⊥AC，∴EU=EV.∵S△ADE=12AD·EU，S△ACE=12AC·EV，∴S△ADE∶S△ACE=AD∶AC;可以證得DEEC=ADAC.

阮同學的方法是利用不同的底和高來表示面積，此方法簡捷，達到了出奇制勝的效果.這時，我又啟發學生思考運用相似三角形的知識來解題的方法，學生們在分析問題的條件和結論后，能夠通過證明△BAD∽△BCA，得到BDAB=ADAC，接下來能否把ADAC作為中間比證明DEEC=ADAC呢？若能，該怎樣添加輔助線呢？這實際上是三角形內角平分線的性質定理的應用，但初中學生沒學過，因此需要證明.

經過思考后，郝同學認為，利用平行線構造相似三角形，同時可以得到等腰三角形，轉移線段，從而解決問題.思路如下：

如圖6，過點C作CF∥AE交DA的延長線于F，由CF∥AE和∠1=∠2可以得到AC=AF和DECE=ADAF，進而DECE=ADAC.

在上述過程中，學生經過啟發，能夠在已有知識的基礎上嘗試利用一題多解的思路去解決問題，這與平時注重訓練學生先獨立審題， 再小組合作，深入探究是分不開的.訓練時老師一定要沉住氣，不能急于一時，你若代替學生說，他們以后就不會努力認真思考，更不會另辟蹊徑，長此以往，學生自主解決問題的能力也隨之下降.所以對學生的思維訓練不能急于求成，課堂點撥之后，要給足學生思考的時間，要堅持培養學生獨立解題能力.

片段三：如圖7，矩形EFGO的兩邊在坐標軸上，點O為平面直角坐標系的原點，以y軸上的某一點為位似中心，作位似圖形ABCD，且點B，F的坐標分別為（-4，4），（2，1）則位似中心的坐標為

在課堂教學中給學生時間探究，鼓勵學生多方位的思考問題，尋找不同的解題思路，并且總結所用的方法，找出其聯系和區別，看似多用了一些時間，但是對學生的思維訓練是水滴石穿的磨礪，且貴在堅持，讓學生從“學會”到“會學”.

我所展示的幾個片段在我們的日常教學中，一定都常見，那就讓我們把它們好好留存，并對其進行編輯整合，去其糟粕，留其精華，使它如鉆石般璀璨.通過一題多解，開闊學生的視野，挖掘學生數學思維的深度，把培養學生的學習技能和方法指導實施在有效的課堂中，學生的創新探究精神會因為教師的放手去做，達到新的高度.

總之，通過不斷的積累，使得學法和教法都能夠有所提升，雖然這是一個很漫長的培養過程，但是一定要堅持去做.多給學生時間，也是給自己的教法更大的空間.點滴感悟與反思，旨在更好的成長，我知道教法之路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]