一種基于反應(yīng)擴散方程的彩色圖像邊緣檢測方法

張 憲 紅

(黑龍江工程學(xué)院 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 哈爾濱 150050)

邊緣檢測是圖像處理中的一個經(jīng)典問題, 與灰度圖像相比, 彩色圖像的邊緣檢測結(jié)果會包含更多邊緣信息, 特別是對于一些亮度相同但顏色不同的圖像[1]. 近年來, 關(guān)于彩色圖像的邊緣檢測研究已有許多成果[2], 如Sobel算子[3]、Canny算子[4]等. 雖然這些技術(shù)在原有方法的基礎(chǔ)上進行了優(yōu)化, 但并未從根本上解決這些方法的固有問題, 如邊緣提取精度不夠、閾值不適應(yīng)等. 除一些經(jīng)典方法外, 還有模糊算法[5]和梯度算子等方法提取彩色圖像的邊緣, 它們大多數(shù)是為了解決圖像邊緣檢測中的抗噪聲問題, 并未較好地改善圖像邊緣提取精度. 因此, 有必要提出一種更有效的彩色圖像邊緣檢測算法, 以提高圖像邊緣信息的質(zhì)量. 細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(cellular neural network, CNN)[6]是圖像邊緣檢測的有效工具之一, 在圖像處理、模式識別、視覺信號處理和仿真等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[7], 但其存在抗干擾能力差、邊緣檢出的準(zhǔn)確度低等問題. 文獻[8]利用反應(yīng)擴散模型對CNN模型進行了優(yōu)化, 雖然邊緣檢測的準(zhǔn)確度得到提高, 但閾值的自適應(yīng)性較差, 在彩色圖像邊緣檢測中的應(yīng)用也不理想. 本文通過對CNN進行改進, 提出一種基于FitzHugh-Nagumo(FHN)反應(yīng)擴散方程的CNN彩色圖像邊緣檢測方法.

1 FHN反應(yīng)擴散方程的動力學(xué)特性分析

將FHN反應(yīng)擴散方程應(yīng)用于圖像處理時, 必須考慮其動態(tài)系統(tǒng)特性. FHN反應(yīng)擴散方程組[9]為

(1)

其中:f(u,v)=ε[u(a-u)(u-1)-v]；g(u,v)=u-bv;u,v與向量x∈n有關(guān);Du,Dv為擴散系數(shù), 且Du?Dv;u(x,t=0)=U0(x)為變量u的初始狀態(tài);v(x,t=0)=V0(x)為變量v的初始狀態(tài).

下面分析系統(tǒng)的Turing不穩(wěn)定性質(zhì)[9]. 將方程(1)轉(zhuǎn)化為

(2)

其中a和b都是常量,ε是一個正常數(shù), 且ε?1. 方程(2)在(0,0)處線性化方程的特征方程[10]為

其中n和l是常量. 當(dāng)n=0時, 方程(3)可轉(zhuǎn)化為

λ2+(aε+b)λ+(ab+1)ε=0.

(4)

當(dāng)

λ2+Tn(ε)λ+Dn(ε)=0,

(5)

其中

設(shè)

Dn(ξ)=DuDvξ2+(aεDv+bDu)ξ+(ab+1)ε,

可得

h(ε)=(aεDv+bDu)2-4(ab+1)εDuDv.

令h(ε)=0, 得ε->ε+, 其中

圖1 方程(4)的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of equation (4)

當(dāng)a=4,b=-0.2,Du=5,Dv=0.001時, 發(fā)生Turing不穩(wěn)定. 常穩(wěn)態(tài)解(0,0)是不穩(wěn)定的, 因此產(chǎn)生了一個新的非常態(tài)解, 如圖2所示. 當(dāng)a=0.15,b=-0.45,Du=1,Dv=5.5,ε=5,u0=0.35,v0=1.5時, 零解(0,0)為漸近穩(wěn)定的, 如圖3所示. 當(dāng)a=0.035,b=-0.4,Du=1,Dv=5.5,ε=1.5,u0=0.35,v0=1.5時, 零解(0,0)為不穩(wěn)定的, 并產(chǎn)生了一組時間周期解, 如圖4所示.

圖2 方程(2)漸近穩(wěn)定值示例Fig.2 Examples of asymptotically stable values for equation (2)

上述動態(tài)特性分析確定了FHN模型的穩(wěn)定狀態(tài), 分為不穩(wěn)定點和穩(wěn)定點. 一個穩(wěn)定點能吸引周圍的數(shù)據(jù)并趨于穩(wěn)定, 而不穩(wěn)定平衡點則趨于振蕩. 在圖像處理中, 穩(wěn)定點周圍的圖像像素值會逐漸趨向于適合于圖像處理的點. 當(dāng)空間導(dǎo)數(shù)和時間導(dǎo)數(shù)均為零時, 在方程(1)中f(u,v)=0和g(u,v)=0零斜率的交點處, 得到了FHN模型的穩(wěn)定狀態(tài). 根據(jù)a和b的值, 有如下兩種情形[8]:

情形1) 如圖5(A)所示, 有一個單點, 稱為單穩(wěn)態(tài)點系統(tǒng);

情形2) 如圖5(B)所示, 有兩個穩(wěn)定點(I和K), 稱為雙穩(wěn)定系統(tǒng).

在單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中, 當(dāng)有弱刺激u(0a), 則系統(tǒng)會被激活,u將增加到1, 然后抑制元素v上升, 使u下降至平衡位置I.該過程產(chǎn)生一個脈沖, 根據(jù)擴散過程的性質(zhì)四處傳播. 這種情形適合于圖像邊緣檢測處理. 因此, 其為本文邊緣檢測處理的重點.

圖3 方程(2)零解漸近穩(wěn)定性示例Fig.3 Examples of asymptotic stability of zero solution for equation (2)

圖4 方程(2)周期時間解示例Fig.4 Examples of time periodic solutions for equation (2)

圖5 兩種穩(wěn)態(tài)示例Fig.5 Examples of two steady state

2 基于FHN的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.1 自適應(yīng)閾值設(shè)置

利用FHN進行圖像邊緣檢測, 一般分析FHN的單穩(wěn)態(tài)特性. 如圖5(A)所示,g(u,v)用實線表示,f(u,v)用虛線表示. 曲線與u軸之間有3個交點, 分別是(0,0),(a,0),(1,0). 隨著時間的變化, 箭頭表示解的趨近方向； 從穩(wěn)定點I鄰域的任意初始值開始, (u,v)的解最終會收斂到穩(wěn)定點,I可視為一個閾值. 如果一個閾值大于另一個閾值, 則確定為邊點, 否則將確定為非邊點.

閾值將影響邊緣檢測的程度. 較小閾值可檢測到更全面的邊緣, 但同時會獲得更大的噪聲量； 較大閾值會有一些邊緣丟失. 通常要獲得最佳閾值, 可通過多次驗證平衡閾值. 但圖像中每個區(qū)域的灰度值變化方式不同, 在某些區(qū)域, 選擇固定不變的閾值會導(dǎo)致邊緣檢測不理想, 固定閾值邊緣檢測算法只適用于亮度規(guī)則的圖像. Nomura等[9]提出了一種閾值計算方法, 閾值a不是整個圖像區(qū)域亮度的平均值, 而需要根據(jù)局部區(qū)域的灰度變化.a的擴散方程為

a(x)=A(u0(x);D,T),

(6)

其中u(x,t=0)=u0(x)表示u的初始狀態(tài),T表示演變時間,D表示擴散系數(shù).

方程(6)可用于亮度圖像的邊緣檢測, 但存在一些缺陷. 隨著反應(yīng)擴散系數(shù)的增大, 邊緣之間的距離增大, 邊緣會被覆蓋, 從而導(dǎo)致圖像邊緣模糊. 此外, 擴散系數(shù)D通常取常數(shù), 為區(qū)域的平均值, 但也需手動預(yù)置. 因此, 需對系數(shù)D進行改進, 以使閾值完全自適應(yīng), 避免假邊緣.

本文通過構(gòu)造一個調(diào)整函數(shù)優(yōu)化反應(yīng)擴散方程中的擴散系數(shù), 調(diào)整函數(shù)可靈活地調(diào)整擴散系數(shù), 使閾值真正自適應(yīng). 將系數(shù)D表示為

(7)

其中：h(r)是一個單調(diào)遞減的非負函數(shù),h(r)∈(0,1], 其能靈活地調(diào)整擴散系數(shù), 從而調(diào)整真假邊緣的距離, 進而減少邊緣檢測中產(chǎn)生假邊緣;k為常數(shù), 主要用于控制擴散系數(shù)的下降率, 一般通過多次迭代實驗確定;r為圖像中各點的歸一化梯度值[10], 與亮度變化程度成正比, 表示為

(8)

增加調(diào)節(jié)函數(shù)h(r)可靈活地改變擴散系數(shù), 反應(yīng)擴散方程可自適應(yīng)地調(diào)整閾值. 通常圖像邊緣處的圖像梯度r較大,h(r)會在該處取極小值, 從而使作用力變小, 直至停止,h(r)可在任何情形下將曲線引向邊界, 最終穩(wěn)定在對象邊緣. 將改進后的閾值代入由FHN方程改進的CNN邊緣檢測模板中, 可得到自適應(yīng)閾值, 提高邊緣檢測的準(zhǔn)確性. 假設(shè)FHN反應(yīng)擴散系統(tǒng)中變量u的初值取為一張圖像的3個灰度值,v初值取零,b=1,ε=103,Du=1.0,Dv=5.0, δh=0.5, δt=10-4. 擴散分布曲線a(x)=A(U0;50.0,1.0)和擴散分布曲線a(x)=A(U0;10.0,1.0)的脈沖圖[9]如圖6所示. 由圖6可見, 當(dāng)對圖像進行邊緣檢測時, 若采用的閾值不合適, 會使圖像像素值在反應(yīng)項的作用下瞬時間向兩個方向變化, 圖像在離散模型作用下產(chǎn)生真假雙邊緣, 且隨著反應(yīng)擴散系數(shù)的增加, 雙邊緣間的距離逐漸增大, 甚至?xí)a(chǎn)生覆蓋邊緣的現(xiàn)象, 使圖像邊緣模糊, 而采用自適應(yīng)閾值a(x)=A(U0;h(r),1.0)能很好地避免該問題, 精確檢測到圖像邊緣.

圖6 反應(yīng)擴散系統(tǒng)脈沖示意圖Fig.6 Pulse diagram of reaction-diffusion system

2.2 基于FHN的CNN改進

標(biāo)準(zhǔn)的CNN體系結(jié)構(gòu)由M×N矩形單元陣列組成, 位于第i行和第j列的元素稱為單元, 用c(i,j)表示. CNN的每個基本電路單元稱為單元, 每個單元由線性電容器、非線性電壓控制電流源和一些線性電阻元件組成. CNN中的每個單元只直接連接到相鄰的單元,M×N個單元的CNN狀態(tài)方程[6]為

(9)

圖7 細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示例Fig.7 Examples of cellular neural networks

其中1≤i≤M, 1≤j≤N,Xij表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中單元c(i,j)的狀態(tài),r為單元的鄰域半徑,c(k,l)表示c(i,j)附近的單元,Nr(i,j)為鄰居,A(i,j,k,l)表示c(k,l)和c(i,j)輸出Vykl的連接權(quán)重,B(i,j,k,l)表示c(k,l)和c(i,j)輸入Vukl的連接權(quán)重, 矩陣A稱為反饋模板, 矩陣B稱為控制模板. 下面將FHN用于改進CNN, 標(biāo)準(zhǔn)CNN架構(gòu)如圖7所示.

在二維空間(x,y)∈2中, 采用九點差分顯示格式求解反應(yīng)擴散方程組(2). 空間變量(x,y)和時間變量t用有限差分法進行離散, 空間步長和時間步長分別為δh和δt, 且i,j和k是離散空間和時間的指數(shù), 其中i=x/δh,j=y/δh,k=t/δt.變量u(x,y,t)的離散形式可表示為

(10)

根據(jù)CNN模型的細胞狀態(tài)函數(shù)方程(9), 可將方程(11)轉(zhuǎn)化為

同理, 方程(2)中第二個等式可轉(zhuǎn)化為

CNN的3×3模板[8]可由方程(12)和方程(13)得到：

(14)

其中Au,u,Av,u,Av,v和Au,v為反饋模板,Bu,u和Bv,v為控制模板. 這是一個兩層的CNN. 在圖像處理中, 數(shù)字圖像的大小是M×N, 其有M行和N列. 設(shè)i=0,1,…,M-1,j=0,1,…,N-1, 則方程(2)Neumann邊界條件的離散表達式[10]為

(15)

基于初值(u0,v0)、離散邊界條件方程(15)、方程(12)和方程(13)的迭代運算, 可得隨時間變化的解(u,v). 方程(12),(13)構(gòu)成了一個基于FHN的兩層CNN反應(yīng)擴散離散網(wǎng)絡(luò), 閾值Z=0. 改進后的CNN同時具有圖像增強和邊緣檢測的功能.

3 方法應(yīng)用

為更準(zhǔn)確地檢測彩色圖像的邊緣, 首先需選擇最合適的顏色空間. 彩色圖像的邊緣檢測通常在RGB空間、CMYK空間和HSV空間進行, 用于融合輸出. HSV空間[11]是一個非線性的顏色表示系統(tǒng), 主要由3個元素表示： 色調(diào)(H)、飽和度(S)和亮度(V). 本文采用Sobel算子比較彩色圖像在RGB, CMYK和HSV空間的邊緣檢測效果, 如圖8所示.

圖8 不同空間中的邊緣提取效果對比Fig.8 Comparison of edge extraction effects in different spaces

由圖8可見: 在RGB和CMYK空間的邊緣檢測結(jié)果中存在大量冗余信息, 顏色信息的丟失和混淆會產(chǎn)生大量的干涉噪聲, 嚴重影響了圖像邊緣檢測的質(zhì)量; 由于HSV空間中每個分量的有效獨立性, 在HSV空間中檢測到的彩色圖像邊緣更清晰. 因此, 本文利用HSV顏色空間研究改進方法在彩色圖像的邊緣檢測問題. 將改進后的閾值代入由FHN方程改進的CNN邊緣檢測模板中, 可得自適應(yīng)閾值. 同時, 該方法可以調(diào)整邊緣之間的距離, 防止邊緣檢測過程中出現(xiàn)假邊緣. 自適應(yīng)閾值計算公式為

該CNN算法的步驟如圖9所示.

圖9 本文CNN算法實施步驟Fig.9 Flow chart of proposed CNN algorithm

4 實驗分析

實驗環(huán)境為Inter酷睿i3處理器的PC機, 利用MATLAB工具進行比較實驗, 實驗圖像樣本大小均為256×256.

為體現(xiàn)采用自適應(yīng)函數(shù)的CNN在提取彩色圖像邊緣的差異性, 實驗首先在采用自適應(yīng)函數(shù)與不采用自適應(yīng)函數(shù)的反應(yīng)擴散方程方法上對圖像邊緣提取的準(zhǔn)確性進行比較分析.

如圖10所示, 彩色圖像樣本存在邊緣界線不清晰的問題, 閾值設(shè)置不準(zhǔn)確, 易導(dǎo)致邊緣提取不準(zhǔn)確. 若閾值設(shè)置過大, 則易導(dǎo)致邊緣提取不到位； 若閾值設(shè)置過小, 則易產(chǎn)生過多假邊緣. 因此, 可以主觀上更好地判斷自適應(yīng)閾值的利弊. 由圖10可見, 帶有自適應(yīng)閾值方法提取到的邊緣更全面準(zhǔn)確, 無自適應(yīng)閾值方法在中心區(qū)域有很多邊緣都未提取到, 導(dǎo)致丟失很多邊緣. 因此, 自適應(yīng)閾值方法在提取彩色圖像邊緣時更有優(yōu)越性.

圖10 有無自適應(yīng)閾值提取效果對比Fig.10 Comparison of extraction effects with and without adaptive threshold

圖11 彩色圖像邊緣提取不同方法效果對比Fig.11 Comparison of color image edge extraction effects by different methods

下面將常用方法Sobel算子[12]、Roberts算子[13]、Canny算子[14]及傳統(tǒng)CNN與改進的CNN方法進行對比分析, 實驗結(jié)果如圖11所示. 圖11中的圖像樣本存在明暗色差, 邊緣提取有一定困難, 可以主觀上更好地判斷各種方法的優(yōu)劣. 由圖11可見： Sobel算子邊緣的提取效果欠佳, Sobel算子提取邊緣在水平和垂直方向都存在缺陷； Roberts算子雖能更好地檢測出水平和垂直的邊緣, 但易丟失一些邊緣, 并且不能抑制噪聲； Canny算法對一定的噪聲具有魯棒性, 邊緣檢測精度較高, 但Canny算子采用高閾值和低閾值分別檢測強邊緣和弱邊緣, 因此, Canny算子更易檢測出一些真正的弱邊緣; 傳統(tǒng)CNN方法的噪聲抑制能力較弱, 會出現(xiàn)一些假邊緣, 顏色保持效果不理想； 改進后的CNN方法在邊緣提取和顏色保持上效果更理想.

為更客觀地評價邊緣檢測的結(jié)果, 本文采用邊緣保持指數(shù)(edge preservation index, EPI)和Pratt品質(zhì)因子(Pratt’s figure of merit, PFOM)評估[15]本文方法的有效性. EPI表示處理后的圖像在水平和垂直方向上的邊緣保持能力, 計算公式為

(18)

其中Ps(i,j)為處理后的圖像像素,Po(i,j)為標(biāo)準(zhǔn)圖像像素,i為行數(shù),j為列數(shù). EPI的取值范圍為[0,1]. EPI越接近1, 算法的邊緣保持能力越強. PFOM是客觀評價邊緣檢測算法性能的定量指標(biāo), 其為3個因素的組合： 真實邊緣的泄漏檢測、偽邊緣的假檢測和邊緣的定位誤差. PFOM計算公式為

(19)

其中Ne為參考邊點的數(shù)量,Nd為是邊緣點的數(shù)量,β為常量,d(k)為實際邊緣點到檢測到的邊緣點之間的歐氏距離. PFOM是一個取值范圍為[0,1]的保真度函數(shù), 其值越接近1, 邊緣檢測效果越好. 圖10和圖11的PFOM和EPI值分別列于表1和表2. 由表1和表2可見, 本文具有自適應(yīng)閾值CNN方法的定量值最接近1, 因此本文方法效果最好.

表1 圖10的定量數(shù)據(jù)分析結(jié)果

表2 圖11的定量數(shù)據(jù)分析結(jié)果

綜上所述, 本文分析了FHN反應(yīng)擴散方程的動力學(xué)性質(zhì), 證明了其在圖像邊緣提取中的可行性; 將基于FHN反應(yīng)擴散方程的CNN應(yīng)用于HSV彩色圖像的邊緣檢測; 采用反應(yīng)擴散方程對擴散系數(shù)進行優(yōu)化, 使閾值更具適應(yīng)性; 將該CNN方法應(yīng)用于一系列流體動力學(xué)圖像, 得到了一種改進的邊緣檢測效果. 由于自適應(yīng)閾值可根據(jù)彩色圖像的亮度自適應(yīng)選取, 因此基于反應(yīng)擴散方程的CNN在彩色圖像實驗中取得了更好的效果. 與其他邊緣檢測方法相比, 本文方法更適合于高精度的彩色圖像邊緣檢測.