三維分數階不確定混沌系統的自適應滑模同步

毛北行, 張又林

(鄭州航空工業管理學院 數學學院, 鄭州 450015)

目前, 混沌同步已引起人們廣泛關注[1-4], 隨著分數階微積分建模方法的引入, 分數階混沌系統的同步研究已取得了較多成果[5-15], 其中文獻[8]基于終端滑模控制研究了不確定Duffling分數階系統同步, 給出了分數階終端滑模函數的設計與構造原則； 文獻[9]研究了分數階Genesio不確定混沌系統的反演滑模同步, 給出了反演滑模同步的一般方法； 文獻[10]研究了Newton-Leipnik不確定分數階混沌系統滑模同步的兩種方法, 得到主從系統滑模同步的充分條件； 文獻[11]基于滑模控制技巧研究了糾纏混沌系統的比例積分滑模同步, 給出了比例積分滑模面的設計與構造； 文獻[12]研究了分數階超混沌Bao不確定混沌系統的比例積分滑模同步. 在實際應用中, 由于存在建模的不確定性、被控對象的結構變化、測量誤差以及外部擾動, 使系統性能遭到破壞, 因此必須考慮這些因素的影響: 文獻[13]研究了分數階Genesio-Tesi混沌系統的滑模混沌同步； 文獻[14]研究了分數階不確定Genesio-Tesi混沌系統的轉移函數滑模同步； 文獻[15]研究了不確定非線性分數階Sprott系統的滑模同步. 本文利用自適應滑模控制方法研究帶有模型不確定性和外擾下一般三維混沌系統的同步問題, 通過設計合適的滑模函數、控制器和自適應律得到三維混沌系統自適應滑模同步的充分條件.

1 主要結果

定義1[16]Caputo分數階導數定義為

考慮三維分數階混沌系統[3]:

(1)

以系統(1)為主系統, 設計從系統為

(2)

其中Δf(y1,y2,y3,t)為不確定項,d(t)為有界的外部擾動,u(t)為控制器, 定義ei=yi-xi, 可得

(3)

假設1設不確定項Δf(y1,y2,y3,t)和外部擾動d(t)有界, 即存在未知參數m,n>0, 使得

|Δf(y1,y2,y3,t)|

引理1[16]若x(t)為連續可微的函數, 則對任意的t≥0， 有

定理1在假設1條件下, 設計滑模面s=e3(t)-ke1(t), 其中k>0. 控制器

(4)

適應律為

(5)

根據Laplace終值定理, 有假設2q-1>0, 由

當不在滑模面上時, 構造函數

(6)

利用引理1, 求分數階導數得

根據引理2, 從而s→0.

考慮三維整數階混沌系統

(7)

以系統(7)為主系統, 設計從系統為

(8)

其中Δf(y1,y2,t)為系統的不確定項,d(t)為有界的外部擾動,u(t)為控制器, 定義ei=yi-xi, 可得

(9)

定理2在假設1條件下, 設計滑模面s=e3(t)-ke1(t), 其中k>0. 控制器(4)適應律為

(10)

當不在滑模面時, 構造函數(6)， 由引理1, 求分數階導數得

根據引理3, 從而s→0.

2 數值仿真

考慮三維分數階Genesio-Tesi混沌系統

(11)

圖1 三維分數階混沌系統的吸引子相圖Fig.1 Attractor phase diagram of three-dimensional fractional-order chaotic system

當b1=-2,b2=3.5,b3=0.3,b4=1,q=0.928時, 三維分數階混沌系統的吸引子相圖如圖1所示.

以系統(11)為主系統, 設計從系統為

(12)

其中Δf(y1,y2,y3,t)為系統的不確定項,d(t)為有界的外部擾動,u(t)為控制器, 定義ei=yi-xi, 可得

(13)

設計滑模面s=e3(t)+ke1(t),k>0. 控制器

適應律為式(4), 當Δf(y1,y2,y3,t)+d(t)=-0.1cos(t)y1+0.1cos(t)時, 定理1中的系統誤差曲線如圖2所示.

圖2 定理1中的系統誤差曲線Fig.2 Systematic error curves in theorem 1

考慮三維整數階Genesio-Tesi混沌系統

(14)

圖3 三維整數階混沌系統的吸引子相圖Fig.3 Attractor phase diagram of three-dimensional integer-order chaotic system

當b1=-2,b2=3.5,b3=0.3,b4=1時, 三維整數階混沌系統的吸引子相圖如圖3所示.

以系統(14)為主系統, 設計從系統為

(15)

其中Δf(y1,y2,y3,t)為系統的不確定項,d(t)為有界的外部擾動,u(t)為控制器, 定義ei=yi-xi, 可得

(16)

設計滑模面s=e3(t)-ke1(t). 控制器

適應率為式(10), 當

Δf(y1,y2,y3,t)+d(t)=-0.1cos(t)y1+0.1cos(t)

時, 定理2中的系統誤差曲線如圖4所示.

圖4 定理2中的系統誤差曲線Fig.4 Systematic error curves in theorem 2

綜上, 本文研究了具有不確定項和外擾下的三維分數階不確定混沌系統的自適應滑模同步, 通過設計合適的滑模函數、控制器和自適應律, 得到三維混沌系統自適應滑模同步的兩個充分條件, 在滿足一定的假設條件下, 不確定混沌系統可取得自適應滑模同步.