一維光子晶體中的幾率密度和拓撲相

任明麗, 韓 夢, 劉曉靜, 吳向堯

(吉林師范大學 物理學院, 吉林 四平 136000)

隨著量子Hall效應(QHE)在凝聚態物理中的深入研究, 一類具有非平庸特性的新型材料----拓撲絕緣體已引起人們廣泛關注[1-7], 如用拓撲不變量[5]解釋量子Hall效應[6-7]. 近年來, 隨著人工超材料[8-10]的發展, 凝聚態中的拓撲絕緣體為類似光學[11-12]和聲學[13]的拓撲絕緣體發展奠定了基礎. 拓撲絕緣體的概念已擴展到光子學[14]中, 一維光子晶體(PCs)的拓撲特征是Zak相[15], 計算結果表明, Zak相與PCs表面阻抗是相關的[16], 并且一個孤立帶的Zak相位與具有完美透射特征的奇點有關[17-18]. 在二維空間中, 具有Faraday效應的PCs與手性邊緣模式的量子Hall效應系統相似[19-20], 在傳統的蜂窩晶格中也可實現自旋Hall效應和谷Hall效應[21-22]. 文獻[23]用量子理論方法計算了一維光子晶體的量子色散關系、量子透射率和反射率. 本文在此基礎上計算一維光子晶體中光子的幾率密度和幾率流密度, 并用該量子理論方法研究帶的Zak相.

1 一維光子晶體中光子的幾率密度和幾率流密度

當0

(1)

由方程(1)和(2)可計算一維光子晶體中光子的幾率密度, 第一個周期介質層A的幾率密度為

當a

(4)

第一個周期介質層B的幾率密度為

在第N個周期介質層A的光子波函數為

第N個周期介質層A的幾率密度為

在第N個周期介質層B的光子波函數為

第N個周期介質層B的幾率密度為

其中Na+(N-1)b

由文獻[19]中的方程(9)可得光子在各介質層的幾率流密度.

當0

當a

在第N個周期介質層A的幾率流密度為

其中(N-1)(a+b)

在第N個周期介質層B的幾率流密度為

其中Na+(N-1)b

(17)

和

(18)

其中

p=1+C1/C2,q=1-C1/C2,g1=(1+C2/C3)eiK0C2·a,g2=(1-C2/C3)e-iK0C2·a,g3=(1-C2/C3)×eiK0C2·a,g4=(1+C2/C3)e-iK0C2·a,h1=(1+C3/C2)eiK0C3·b,h2=(1-C3/C2)e-iK0C3·b,h3=(1-C3/C2)eiK0C3·b,h4=(1+C3/C2)e-iK0C3·b.

2 數值結果

當介質A和B的折射率分別為na=2.68和nb=1.68, 厚度分別為a=200 nm和b=300 nm, 周期數N=10, 中心頻率ω0=171 THz時, 計算結構為(AB)N的一維光子晶體的量子透射率、幾率密度和幾率流密度. 在數值計算中, 比較量子透射率和經典透射率的結果, 并進一步研究一維光子晶體不同參數對幾率密度、幾率流密度、帶隙結構和Zak相的影響.

由文獻[19]中的方程(88)可得一維光子晶體的量子透射率, 結果如圖1所示, 其中圖1(A)為經典透射率, 圖1(B)為量子透射率. 由圖1可見, 量子透射率與經典透射率的結果相同. 入射角θ對幾率密度和幾率流密度的影響分別如圖2和圖3所示. 由圖2和圖3可見： 幾率密度和幾率流密度均隨光在光子晶體中的傳播距離x呈近似周期性變化； 隨著入射角θ的減小, 幾率密度和幾率流密度的波幅增大. 周期數N對概率密度的影響如圖4所示. 由圖4可見, 幾率密度的波幅隨周期數N的增加而增大. 一維光子晶體(AB)10對不同ω的幾率密度如圖5所示. 由圖5(A)可見, 當取透射率T=100%對應的入射光子頻率時, 幾率密度的波幅值最大； 由圖5(B)可見, 當取入射光子頻率對應的透射率T=80%時, 幾率密度波幅值減小； 由圖5(C)可見, 當取入射光子頻率對應的透射率T=0時, 光子的禁帶頻率和幾率密度的幅值迅速衰減為零, 表明光子晶體禁帶中的光子存在量子隧道效應.

圖1 一維光子晶體(AB)10的透射率Fig.1 Transmissivity of one-dimensional photonic crystals (AB)10

圖2 一維光子晶體(AB)10對不同入射角θ的幾率密度Fig.2 Probability density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different incident angle θ

圖3 一維光子晶體(AB)10對不同入射角θ的幾率流密度Fig.3 Probability current density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different incident angle θ

圖4 一維光子晶體(AB)10對不同周期數N的幾率密度Fig.4 Probability density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different periodic number N

由文獻[22]可知光子的量子幾率密度分布, 當Kd=0和Kd=π時, 若同一條帶上ρn(x=0)和(x=π)均為0或均不為0時, 則這條帶的Zak相為0； 否則Zak相為π. 當幾率密度ρ≤10-3時, 可將其視為零.

圖5 一維光子晶體(AB)10對不同ω的幾率密度Fig.5 Probability density of one-dimensional photonic crystals (AB)10 for different ω

圖6 一維光子晶體的色散關系Fig.6 Dispersion relation of one-dimensional photonic crystals

一維光子晶體的色散關系如圖6所示, 其中介質B的折射率為nb=1.12, 點A,B,C,D,E,F為帶邊態, 其量子幾率密度分布分別如圖7(A)～(F)所示. 根據光子在光子晶體中的量子幾率密度分布可確定帶Zak相位. 對于AB帶,ρA(x=0)=0.214 1≠0,ρB(x=0)=0.42≠0, 則AB帶的Zak相位為0; 對于CD帶,ρC(x=0)=0.003 618≈0和ρD(x=0)=0.017 68≠0, 則CD帶的Zak相為π； 對于EF帶,ρE(x=0)=0.003 419≈0和ρF(x=0)=0.000 442 4≈0, 則EF帶的Zak相位為0.

圖7 量子幾率密度分布Fig.7 Distribution of quantum probability density

綜上, 本文用光子量子理論給出了一維光子晶體中光子的幾率密度、幾率流密度和拓撲相, 通過MATLAB軟件進行計算畫圖. 結果表明: 當入射角θ和周期數N改變時, 幾率密度和幾率流密度近似為周期變化, 其振幅隨入射角θ和周期數N的增加而增大； 當入射光子的頻率與透射率T=100%相對應時, 幾率密度振幅最大, 當入射光子的頻率與透射率T=0相對應時, 幾率密度不為零, 但幾率密度的振幅迅速衰減到零, 即光子晶體中存在光子的量子隧道效應. 此外, 用量子方法給出了帶的Zak相, 該量子理論方法可進一步研究光的量子Hall效應, 為光子晶體器件的設計提供數據信息.