Heisenberg群中乘積曲面平均曲率流的孤子解

于延華, 封 迪

(東北大學 理學院, 沈陽 110819)

曲面的平均曲率流在數學上被認為是曲面或超曲面沿自身法向量依平均曲率大小的形變[1]. 平均曲率流發展方程在物理學、材料科學和微分幾何等領域具有重要作用[1-3]. 目前, 關于曲面平均曲率流在Euclide空間中的研究已有很多成果[2-5]. Cintra等[6]將平均曲率流的研究推廣到了三維Heisenberg群上, 并對初始條件是直紋面的平均曲率流進行了分類. Heisenberg群的運算具有非交換性, 該性質使得曲面平均曲率流的性質與Euclide空間完全不同, 結論也更豐富.

本文在三維Heisenberg群中討論初始條件是乘積面積的平均曲率流孤子解問題. 將三維Heisenberg群中的等距變換群作用在乘積曲面上, 得到隨時間變化的單參數曲面族, 并進一步給出該曲面平均曲率流的發展方程及其性質. 若無特殊說明, 本文所有的求和形式都約定采用Einstein求和記號,Ci(i∈)表示常數，H僅表示3維Heisenberg群.

1 預備知識

[e1,e2]=e3, [e1,e3]=0, [e2,e3]=0.

由標架{e1,e2,e3}可得H上一組左不變標準正交基{E1,E2,E3}：

用×表示定義在其上的外積運算, 則E1=E2×E3,E2=E3×E1,E3=E1×E2.

設M是一個2維的光滑流形, 坐標是(x1,x2). 設φt(x1,x2):M×I→H,I=[0,T), 則φt是H中一族參數為t的光滑浸入超曲面{Mt}的位置向量, 初始條件為φ0=φ.Mt的第一基本形式與第二基本形式分別為

2 基本概念

三維Heisenberg群H的等距變換群對應的李代數(記作IsoH)有如下4個基底：

對于單參數等距變換ψt, 記X為由這4個基底組成的李代數, 則基底可生成如下曲面[11]：

令初始條件φ0(u,v)為由光滑函數f(u),g(v)生成的乘積曲面, 且表達式為φ(u,v)=(u,v,f(u)g(v)). 則ψt(φ(u,v))有如下4種形式：

3 主要結果

(5)

證明： 直接計算可得

曲面的切向量為

代入平均曲率流的發展方程, 可得ε′(t)=A, 其中A是一個非零常數, 即ε(t)=At.

由定理1可得如下推論：

推論1在X1作用下乘積曲面的平均曲率流隨時間運動的函數ε(t)是一個線性函數, 且平均曲率流的存在時間是[0,+∞).

證明： 若曲面存在極小解, 則該極小解必然滿足方程組：

因為A≠0成立, 所以方程組的表達式可進一步寫為

(6)

由方程組(6)中的第一個方程可知

將g的表達式代入方程組(6)中第二個方程可知C2=0, 從而可得解函數為

定理2中極小解對應的曲面幾何形狀如圖1所示.

(7)

證明： 計算過程類似定理1, 直接計算可得

代入平均曲率流發展方程可得ε′(t)=A, 且A是一個非零常數.

由定理3可得如下推論：

推論2在X2作用下乘積曲面的平均曲率流隨時間運動的函數ε(t)是一個線性函數, 且平均曲率流存在的時間是[0,+∞).

證明： 證明過程類似定理2. 若曲面存在極小解, 則該極小解必然滿足方程組：

(8)

由方程組(8)可知,

將f的表達式代入方程組(8)可得C4=0, 所以可知解函數為

因此曲面的表達式為Φ2(u,v)=(u,v,2-1uv).

定理4中極小解對應的曲面幾何形狀如圖2所示.

圖1 曲面Φ1(u,v)=(u,v,-2-1uv)Fig.1 Surface Φ1(u,v)=(u,v,-2-1uv)

圖2 曲面Φ2(u,v)=(u,v,2-1uv)Fig.2 Surface Φ2(u,v)=(u,v,2-1uv)

(9)

證明： 直接計算有

法向量表達式為

又因為

(10)

將式(10)代入式(9)可得ε′(t)=A, 且A是一個非零常數, 因此結論成立.

由定理5可得如下推論：

綜上, 本文得到了3種平均曲率流發展方程, 由于所得方程較復雜, 因此本文只對前兩種方程求出了極小解, 并未給出第三種方程的極小解.