具有一個導函數的Hardy-Hilbert型積分不等式

辛冬梅, 楊必成, 閆志來

(1. 廣東第二師范學院 數學學院, 廣州 510303； 2. 廣州中醫藥大學 公共衛生與管理學院， 廣州 510006)

0 引 言

(1)

(2)

這里, 常數因子π仍是最佳值. 不等式(1)和(2)在分析學及其相關領域應用廣泛[2-13].

1 引 理

本文假設p>1, 1/p+1/q=1,λ>0,λi∈(0,λ)(i=1,2),a∶=λ-λ1-λ2,f(x),g(y)是+∶=(0,∞)上的非負可測函數,g(0+)=0,g′(y)≥0 a.e.于+, 滿足條件

引理1對于t>0, 有如下不等式:

(3)

證明: 因為g(0+)=0, 故由分部積分法, 有

即式(3)成立. 證畢.

引理2定義權函數為

(4)

(5)

則有

(6)

ω(λ1,y)=B(λ1,λ-λ1),y∈+,

(7)

即式(6)成立. 同理, 式(7)成立. 證畢.

Γ函數定義為

(8)

對于λ,x,y>0, 可推出

(9)

恒等式Γ(α+1)=αΓ(α)(α>0)及聯系Beta函數的公式

(10)

引理3如下Hardy-Hilbert積分不等式成立:

證明: 由H?lder不等式[25], 有

若式(12)保持等號, 則有不全為0的常數A和B, 滿足

不妨設A≠0, 則存在y∈(0,∞), 使得

與

企業文化自20世紀80年代起逐漸經歷了引進、啟蒙、質問、裂變到整合、本土化的不平凡發展歷程。但時至今日，大多數企業仍未形成成熟的企業文化，往往只注重企業文化的形式，而忽略企業文化的內涵；不能將企業文化精神貫穿于企業經營的過程中，企業行為、員工行為與企業文化嚴重脫節。

(13)

矛盾. 事實上, 對于式(13)左邊, 當a=λ-λ1-λ2∈時, 有x-1-adx=∞. 故由式(8)和式(9)知式(11)成立. 證畢.

2 主要結果

定理1如下具有一個導函數的齊次核Hardy-Hilbert型積分不等式成立:

特別地, 當λ1+λ2=λ(或a=0)時, 式(14)變為

(15)

證明: 由式(9)、交換積分次序的Fubini定理[26]及式(3), 有

再由式(11)有式(14). 當a=0時, 式(14)變為式(15).

對任意的0<ε

(17)

可求得

由Fubini定理[26], 又有

把式(18)代入式(17), 有

(19)

在式(19)中令ε→0+, 由Beta函數的連續性, 有

還可將式(14)改寫為如下不等式:

(21)

由H?lder不等式[25], 又有

故式(22)保持等號, 即有不全為0的常數A和B, 使得Auλ-λ2-1=Buλ1-1a.e.于+[25]. 不妨設A≠0, 則有于+, 即有a=λ-λ1-λ2=0,λ1+λ2=λ.證畢.

定理3下列結論等價:

3)λ1+λ2=λ;

證明: 1)?2). 由1)及Beta函數的連續性, 有

因此2)成立.

2)?3). 由2)知, 式(22)保持等號, 由定理2的證明結果, 有λ1+λ2=λ.

3)?4). 若λ1+λ2=λ, 則由定理1知, 式(14)的常數因子

是最佳值.

4)?1). 由定理2, 有λ1+λ2=λ, 從而有

B1/p(λ2,λ-λ2)B1/q(λ1,λ-λ1)=B(λ1,λ2),

綜上可知, 結論1),2),3),4)等價. 證畢.

推論1如下具有一個導函數的非齊次核Hardy-Hilbert型積分不等式成立:

特別地, 當λ1+λ2=λ(或a=0)時, 式(23)變為

(24)

在式(25)和式(26)中, 特別地, 取λ=1,r=q,s=p, 則有

取λ=1,r=p,s=q, 則有

當p=q=2時, 式(27)和式(29)變為

(31)

式(28)和式(30)變為

(32)

上述常數因子均為最佳值.