Poisson 3-Lie代數的廣義導子

張 爽, 王春月, 張慶成

(1. 吉林建筑大學 基礎科學部, 長春 130118； 2. 吉林工程技術師范學院 應用理學院, 長春 130052; 3. 東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

1 預備知識

定義1[1]Poisson 3-Lie代數是一個三元組(L,·,[,,]), 其中L是一個線性空間, “·”和“[,,]”分別是L上的雙線性映射和三線性映射, 并滿足以下條件:

1) (L,·)是交換結合代數；

2) (L,[,,])是3-Lie代數；

3) 對任意的x,y,u,v∈L, [x,y,uv]=u[x,y,v]+[x,y,u]v恒成立.

定義2設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數,D∈End(L). 若對任意的x,y,z∈L, 均有

D(xy)=D(x)y+xD(y),

(1)

D([x,y,z])=[D(x),y,z]+[x,D(y),z]+[x,y,D(z)]

(2)

成立, 則稱D是Poisson 3-Lie代數的導子.

定義3設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數,D∈End(L). 若存在D′,D″∈End(L), 使得對任意的x,y,z∈L, 均有

D(x)y+xD′(y)=D″(xy),

[D(x),y,z]+[x,D′(y),z]+[x,y,D″(z)]=D?([x,y,z])

成立, 則稱D是Poisson 3-Lie代數的廣義導子.

定義4設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數,D∈End(L). 若存在D′∈End(L), 使得對任意的x,y,z∈L, 均有

D(x)y+xD(y)=D′(xy),

[D(x),y,z]+[x,D(y),z]+[x,y,D(z)]=D′([x,y,z])

成立, 則稱D是Poisson 3-Lie代數的擬導子.

記Der(L)為由L所有導子組成的集合, GDer(L)為由L所有廣義導子組成的集合, QDer(L)為由L所有擬導子組成的集合.

定義5設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數,D∈End(L). 若對任意的x,y,z∈L, 式(1)和式(2)均成立, 則稱D是Poisson 3-Lie代數的型心. 記C(L)為由L所有型心組成的集合. 若對任意的x,y,z∈L, 均有

xD(y)=D(x)y,

[D(x),y,z]=[x,D(y),z]=[x,y,D(z)]

成立, 則稱D是L的擬型心. 由L所有擬型心組成的集合記作QC(L).

定義6設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數,D∈End(L). 若對任意的x,y,z∈L, 均有

D(xy)=D(x)y=xD(y)=0,

D([x,y,z])=[D(x),y,z]=[x,D(y),z]=[x,y,D(z)]=0

成立, 則稱D是Poisson 3-Lie代數的中心導子. 由L所有中心導子組成的集合記作ZDer(L), 稱為L的中心導子代數.

定義7設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數, 稱

Z(L)={x∈L|xy=yx=[x,y,z]=[y,x,z]=[y,z,x]=0, ?y,z∈L}

為L的中心.

由上述定義, 有

ZDer(L)?Der(L)?QDer(L)?GDer(L)?End(L),

C(L)?QC(L)?QDer(L).

通過簡單計算可驗證End(L)在括積運算[f,g]=fg-gf(?f,g∈End(L))下是李代數.

2 主要結果

命題1設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數, 則:

1) GDer(L),QDer(L)和C(L)是李代數End(L)的子代數；

2) ZDer(L)是李代數Der(L)的理想.

證明: 1) 任取D1,D2∈GDer(L), 則對任意的x,y,z∈L, 由廣義導子的定義, 有

所以

設D1,D2∈C(L), 則對任意的x,y,z∈L, 有

同理可得

[x,[D1,D2](y),z]=[D1,D2]([x,y,z]),

[x,y,[D1,D2](z)]=[D1,D2]([x,y,z]),x([D1,D2](y))=[D1,D2](xy).

所以[D1,D2]∈C(L).因此,C(L)是End(L)的子代數.

2) 任取D1∈ZDer(L),D2∈Der(L), 則對任意的x,y,z∈L, 有

[D1,D2](xy)=D1D2(xy)-D2D1(xy)=D1(D2(x)y+xD2(y))=0,

([D1,D2](x))y=D1D2(x)y-D2D1(x)y=-D2(D1(x)y)-D1(x)D2(y)=0.

所以ZDer(L)是Der(L)的理想.

命題2設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數, 則：

1) [Der(L),C(L)]?C(L)；

2) [QDer(L),QC(L)]?QC(L)；

3) [QC(L),QC(L)]?QDer(L)；

4) C(L)?QDer(L).

證明: 1) 任取D1∈Der(L),D2∈C(L), 則對任意的x,y,z∈L, 有

[D1D2(x),y,z]=D1([D2(x),y,z])-[D2(x),D1(y),z]-[D2(x),y,D1(z)],

從而

[[D1D2-D2D1](x),y,z]=[D1,D2]([x,y,z]),

即

[[D1,D2](x),y,z]=[D1,D2]([x,y,z]).

又因為

(D2D1(x))y=D2D1(xy)-xD2D1(y),

所以([D1,D2](x))y=[D1,D2](xy). 同理可得

[[D1,D2](x),y,z]=[x,[D1,D2](y),z]=[x,y,[D1,D2](z)],

([D1,D2](x))y=x([D1,D2](y)).

因此, [Der(L),C(L)]?C(L).

2) 同1)的證明, 經簡單計算可得結論.

3) 任取D1,D2∈QC(L), 則對任意的x,y,z∈L, 有

[x,[D1,D2](y),z]=[x,y,[D1,D2](z)]=0,

所以有

[[D1,D2](x),y,z]+[x,[D1,D2](y),z]+[x,y,[D1,D2](z)]=0,

([D1,D2](x))y+x([D1,D2](y))=0.

由擬導子定義得[D1,D2]∈QDer(L). 因此, [QC(L),QC(L)]?QDer(L).

4) 任取D∈C(L), 則對任意的x,y,z∈L, 有

[D(x),y,z]=[x,D(y),z]=[x,y,D(z)]=D([x,y,z]),

D(x)y=xD(y)=D(xy).

因此,

[D(x),y,z]+[x,D(y),z]+[x,y,D(z)]=3D([x,y]),

D(x)y+xD(y)=2D(xy).

由D∈End(L)得2D,3D∈End(L), 再由擬導子定義得D∈QDer(L).

定理1設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數,Z(L)是L的中心, 則

[C(L),QC(L)]?End(L,Z(L)).

(3)

特別地, 若Z(L)={0}, 則[C(L),QC(L)]=0.

證明： 任取D1∈C(L),D2∈QC(L), 則對任意的x,y,z∈L, 有

所以[D1,D2](x)∈Z(L), 從而[D1,D2]∈End(L,Z(L)). 因此式(3)成立. 特別地, 若Z(L)={0}, 則[C(L),QC(L)]=Z(L)={0}.

定理2設(L,·,[,,])是一個Poisson 3-Lie代數, 若Z(L)={0}, 則QC(L)是一個李代數當且僅當[QC(L),QC(L)]=0.

證明: 充分性顯然, 下證必要性. 任取D1,D2∈QC(L), 對任意的x∈L, 因為QC(L)是一個3-李代數, 所以[D1,D2]∈QC(L), 即

[[D1,D2](x),y,z]=[x,[D1,D2](y),z]=[x,y,[D1,D2](z)],

([D1,D2](x))y=x([D1,D2](y)), ?y,z∈L.

由命題2中3)的證明, 知

[[D1,D2](x),y,z]=[x,[D1,D2](y)]=[x,y,[D1,D2](z)]=0,

([D1,D2](x))y=-x([D1,D2](y)),

所以有

[[D1,D2](x),y,z]=[y,[D1,D2](x),z]=[x,y,[D1,D2](z)]=0,

([D1,D2](x))y=y([D1,D2](x))=0.

因此[D1,D2](x)∈Z(L)={0}, 即[D1,D2](x)=0. 由x的任意性, [D1,D2]=0, 從而

[QC(L),QC(L)]=0.