Z-Quantale的表示定理

杜佳慧, 劉 敏

(長安大學 理學院, 西安 710064)

Quantale理論是理論計算機科學的數學基礎之一, 應用廣泛[1-3]. Quantale可視為Locale的一般化, 其可為非交換的C*-代數提供一種新的格式刻畫, 并為量子力學提供新的數學模型[4-5]. 文獻[6-7]對Quantale理論進行了系統研究.

目前, 關于Z-集系統的研究已有很多結果. Wright等[8]提出了Z-集系統的概念; Bandelt等[9]引入了Z-連續偏序集的概念并討論了其一系列基本性質； 趙東升等[10]從范疇的角度對一類Z-集系統給出了Z-連續偏序集的一個范疇特征； 文獻[11]將集系統的概念應用到Frame理論中, 引入了Z-frame的概念； 文獻[12-13]進一步研究了Z-frame及其范疇性質； 文獻[14]把集系統的概念應用到Quantale理論中, 作為Quantale的一般化引入了Z-Quantale的概念, 并研究了Z-Quantale及其范疇性質； 文獻[15]通過對Z-Quantale的進一步研究, 證明了交Z-Quantale的所有Z-閉子集構成的集合在包含序下是Frame, 并討論了交Z-Quantale上的核映射、商、同余之間的關系, 進一步證明了Quantale范疇是Z-Quantale范疇的反射子范疇.

Quantale的表示是Quantale研究的一個重要方面. Rosenthal[7]證明了每個關系Quantale都同構于半群構成的冪集Quantale的商Quantale; Brown等[16]研究了單位Quantale的表示, 證明了每個單位Quantale都同構于一個關系Quantale; Valentini[17]給出了與文獻[16]類似的結論, 但文獻[16]中單位QuantaleQ可嵌入到以包含序為序關系的Quantale中, 而文獻[17]中單位QuantaleQ可嵌入到以反包含序為序關系的Quantale中； 在此基礎上, Kaarli等[18]給出了Integral Quantale的關系表示. 受上述工作的啟發, 本文討論單位Z-Quantale的表示問題, 給出單位Z-Quantale的映射表示和關系表示, 并討論單位Z-Quantale范疇及關系Z-Quantale范疇之間的關系.

1 預備知識

定義1[19]設(S,·)是半群. 如果(S,≤)是偏序集, “≤”關于半群的乘法是相容的, 即

a≤b?a·c≤b·c,c·a≤c·b, ?a,b,c∈S,

則稱(S,·,≤)是序半群, 簡稱S是序半群.

定義2[20]設(S,·,≤)和(M,*,≤)是序半群,f: (S,·,≤)→(M,*,≤)是映射. 如果?a,b∈S, 有:

1)a≤b?f(a)≤f(b);

2)f(a·b)=f(a)*f(b).

則稱f是從S到M的序半群同態.

定義3[21]設P是完備格. 若?a∈P, {bi}i∈I?P, 有

則稱P是Frame.

定義4[21]設P和T是Frame,f:P→T是映射. 如果f滿足：

1) ?a,b∈P,f(a∧b)=f(a)∧f(b);

則稱f是從P到T的Frame同態.

定義5[21]設Q是完備格,&是Q上的二元運算, 且滿足：

1) ?a,b,c∈Q, (a&b)&c=a&(b&c);

則稱(Q,&)是Quantale, 簡稱Q是Quantale.

定義6[21]設Q和K是Quantale,f:Q→K是映射, 如果f滿足：

1) ?a,b∈Q,f(a&b)=f(a)&f(b);

則稱f是Q到K的Quantale同態.

設(S,·,≤)是序半群, 用D(S)表示S的下集格, 即

D(S)={A?S|A=↓A}.

在D(S)上定義二元運算*為

U*V=↓{u·v|u∈U,v∈V}, ?U,V∈D(S),

易見(D(S),*,?)是序半群. 用OSG表示以序半群為對象、以序半群同態為態射的范疇.

定義7OSG上的一個集系統Z是一個映射, 其中對OSG的每個對象S,Z(S)是由S下集構成的子集族, 且滿足下列條件：

1) ?x∈S,↓x∈Z(S);

2) 若f:S→T是保序映射, 則?D∈Z(S), ↓f(D)∈Z(T);

3)Z(S)是D(S)的子序半群;

4) ?α∈Z(Z(S)), ∪α∈Z(S).

Z(S)中的元素稱為Z-理想. 若C?S且↓C∈Z(S), 則稱C為Z-集.

本文中Z總表示OSG上的一個集系統, 且OSG上集系統Z的概念與文獻[12]略有不同, 文獻[12]要求定義7中條件2)的f為序半群同態, 而本文僅要求f保序.

例1對每個序半群S,D(S)是S的下集格,

P(S)={↓x|x∈S},

則對應的D和P分別是OSG上的最大和最小集系統.

定義8[12]設S是序半群, 若?D∈Z(S), ∨D存在, 則稱S為Z-完備的.

易證S是Z-完備的當且僅當S的每個Z-集的并存在.

定義9[12]設(S,·,≤)是Z-完備序半群, 若?a∈S,D∈Z(S), 有

a·(∨D)=∨(a·D), (∨D)·a=∨(D·a),

則稱(S,·,≤)是Z-Quantale, 簡稱S是Z-Quantale. 若S中有單位元, 即?e∈S, 使得?s∈S,e·s=s·e=s, 則稱S為單位Z-Quantale.

定義10[15]設S,T是Z-完備序半群,f:S→T是序半群同態. 若?Z-集D?S,f(∨D)=∨f(D), 則稱f是Z-完備序半群同態. 若S,T是Z-Quantale,f是Z-完備序半群同態, 則稱f是Z-Quantale同態, 若Z-Quantale同態f為序同構， 則稱f為Z-Quantale同構.

本文涉及的相關Quantale理論可參考文獻[21], 相關偏序集和格的理論可參考文獻[22], 相關范疇論的理論可參考文獻[23].

2 Z-Quantale的表示

下面證明任意單位Z-Quantale均同構于由其強Z-自連續映射所構成的Z-Quantale.

定義11設P為Z-Quantale, 若?S∈Z(P),f(∨S)=∨f(S), 則保序映射f:P→P稱為Z-自連續的.

記Z-QuantaleP上的所有Z-自連續映射為EndZ(P).

命題1設P為Z-Quantale, 則(EndZ(P),°,≤)為Z-Quantale, 其中°為映射的復合, ≤為逐點序, 即

f≤g? ?a∈P,f(a)≤g(a).

證明: 1) 可證明(EndZ(P),°,≤)為序半群.

2) 證明(EndZ(P),°,≤)為Z-完備序半群.

設H∈Z(EndZ(P)),x∈P, 定義映射

則Φ為保序映射. 由P為Z-完備序半群,Φ為保序映射, 可得

↓{h(x)|h∈H}∈Z(P),

故∨↓{h(x)|h∈H}存在. 定義h0:P→P為

h0(x)=∨↓{h(x)|h∈H}, ?x∈P.

設x≤y, 則

↓{h(x)|h∈H}?↓{h(y)|h∈H},

從而可得h0(x)≤h0(y), 即h0為保序映射. 設集S∈Z(P), 則

故h0∈EndZ(P). 由h0(x)的定義可得h0=∨H, 故EndZ(P)為Z-完備的序半群.

3) 設f∈EndZ(P),H∈Z(EndZ(P)), 則?x∈P, 有

故f°(∨H)=∨(f°H). 同理可得(∨H)°f=∨(H°f). 故EndZ(P)為Z-Quantale.

定義12設P是Z-Quantale,f∈EndZ(P), 若?a,b∈P, 均有f(a·b)=f(a)·b, 則稱f為強Z-自連續映射.

記P上所有強Z-自連續構成的集合為EndSZ(P).

命題2設P為Z-Quantale, 則(EndSZ(P),°,≤)為Z-Quantale, 其中°為映射的復合, ≤為逐點序.

證明: 1) 設f,g∈EndSZ(P), 則?a,b∈P, 有

g(f(a·b))=g(f(a)·b)=gf(a)·b,

所以g°f為強Z-自連續的.

2) 設H∈Z(EndSZ(P)), 則可證H為EndZ(P)中的Z-集. 記h0為H在EndZ(P)中的上確界, 則?a,b∈P, 由↓{h(a)|h∈H}為P中的Z-集, 可知

因此h0∈EndSZ(P), 從而可證h0是H在EndSZ(P)中的上確界. 所以EndSZ(P)是Z-完備的, 進而類似于命題1可證明(EndSZ(P),°,≤)為Z-Quantale.

注1設P為Z-Quantale, 則?a∈P,a·_∈EndSZ(P).

定理1若P為單位Z-Quantale, 其中e為P中的單位元, 則映射

為Z-Quantale同構.

證明: 1) 由a·_∈EndSZ(P)可知φ的定義合理;

2) 設a,b,x∈P且a≤b, 則φ(a)(x)=a·x≤b·x=φ(b)(x), 故φ為保序映射;

3)φ(a·b)(x)=(a·b)·x=a·(b·x)=(φ(a)°φ(b))(x);

4) ?D∈Z(P),x∈P, 則φ(∨D)(x)=(∨D)·x=∨(D·x), 故φ(∨D)=∨φ(D);

5) 若a,b∈P,φ(a)≤φ(b), 則a=φ(a)(e)≤φ(b)(e)=b, 故φ為序嵌入;

6) 設f∈EndZS(P), 則?x∈P, 有

(φ(f(e)))(x)=(f(e))·(x)=f(e·x)=f(x).

所以f=φ(f(e)), 故φ為滿射.

綜上可知f為Z-Quantale同構.

3 單位Z-Quantale的關系表示

注3關系Z-Quantale為單位Z-Quantale.

證明: 設r,s∈Q, 則

證明: 設r∈Q,D∈Z(Q), 則

故f為序半群同態. ?Z-集D?Q, 可得

定義15設(Q,?,≤)為單位Z-Quantale, ?a,b∈Q, 有a?b=b?a, 則稱Q為可換單位Z-Quantale.

4 單位Z-Quantale范疇的等價定理

用UZQuant表示以單位Z-Quantale為對象,Z-Quantale同態為態射的范疇, CUZQuant表示由可換單位Z-Quantale為對象和Z-Quantale同態為態射的范疇, 則易得CUZQuant為UZQuant的滿子范疇. 用RZQuantale表示以關系Z-Quantale為對象,Z-Quantale同態為態射的范疇, 則易見RZQuant是UZQuant的滿子范疇. 用CRZQuant表示由可換關系Z-Quantale為對象,Z-Quantale同態為態射的范疇, 則易得CRZQuant為CUZQuant的滿子范疇. 顯然存在含入函子I:RZQuant→UZQuant, 且I: CRZQuant→CUZQuant也為含入函子.

定理31) 范疇UZQuant和RZQuant是等價的;

2) 范疇CUZQuant和CRZQuant是等價的.

綜上， 本文給出了單位Z-Quantale的映射表示和關系表示定理, 得到了單位Z-Quantale范疇與關系Z-Quantale范疇等價. 由于Z-Quantale可視為Quantale的推廣, Frame是特殊的單位可換Quantale, 因此本文結論可應用于Quantale和Frame等特殊的Z-Quantale。