與弱傾斜模有關的對偶對

羅 佩, 楊曉燕

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

傾斜理論和對偶對理論在同調代數及相對同調代數中具有重要作用, 目前已取得了許多研究成果[1-4]. 文獻[5]通過對弱傾斜模的研究將傾斜理論再次拓展, 得到了如下結果:R-模W是弱傾斜模當且僅當示性模W+=HomR(W,/)是余傾斜模. 文獻[6]給出了對偶對的概念及相關例子. 文獻[7-8]根據對偶對的性質(當(相關的模類及余撓對的性質.

1 預備知識

定義1[1]如果下列條件成立:

1)W的平坦維數有限;

3) 存在一個非負整數r和一個正合列0→Cr→Cr-1→…→C0→R+→0, 其中對于0≤i≤r有Ci∈Prod(W+).

則稱R-模W是弱傾斜模. 若fdRW≤n, 則稱W為弱n-傾斜模.

定義2[3]如果下列條件成立:

1)C的內射維數有限;

3) 存在一個非負整數r和一個正合列0→Cr→Cr-1→…→C0→U→0, 其中U是內射余生成子且對任意的0≤i≤r有Ci∈Prod(C).

則稱R-模C是余傾斜模. 若idRC≤n, 則稱C為n-余傾斜模.

定義3[2]如果下列條件成立:

2 主要結果

下面主要討論與有限(n+1)-表示的弱n-傾斜模有關的對偶對以及與之相關模類的性質.

命題3令R是任意環, 則:

命題4令R是任意環, 則:

1)是投射可解類;

2) (,()是完全且遺傳的余撓對.

證明: 1) 首先, 證()是對偶對. 對于任意的M, 有所以M∈關于有限直和及直和項封閉, 所以()是對偶對.

綜上, 有：

定理1令R是任意環, 則:

命題5令R是任意環, 則:

證明: 1) 首先, 因為W是有限n-表示的模類, 所以有如下同構式:

…→Xn→…→X1→X0→M→0,

命題6令R是任意環, 則:

0→Xn→…→X1→X0→M→0,

0→C+→B+→A+→0

綜上, 有:

定理2令R是任意環, 則: