局部非線性邊界條件下熱量方程解的空間漸近性

2021-11-26 07:45:12陳雪姣李遠(yuǎn)飛李宗锎

吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版) 2021年6期

陳雪姣, 李遠(yuǎn)飛, 李宗锎

(廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 廣州 511300)

0 引言

關(guān)于熱傳導(dǎo)方程的Phragmén-Lindel?f型二擇性研究目前已取得了很多結(jié)果[1-20]. 通常情況下, 這類問題定義一個(gè)半無窮的柱體為

R={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈D,x3>0},

其中D是坐標(biāo)平面x1Ox2上的一個(gè)有界閉區(qū)域. 先假設(shè)方程的解在柱體R的側(cè)面上滿足零邊界條件, 然后證明解隨空間變量或者呈指數(shù)式(多項(xiàng)式)增長或者呈指數(shù)式(多項(xiàng)式)衰減. 例如: 文獻(xiàn)[1]研究了一些熱傳導(dǎo)理論中偽拋物方程在零邊界條件下解的空間二擇性；考慮到熱量在柱體側(cè)面上與外界發(fā)生熱交換的情況, 文獻(xiàn)[6]研究了調(diào)和方程

Δu=0, (x1,x2,x3,t)∈R×(0,T),

在邊界條件

下的解空間二擇性; 文獻(xiàn)[7-8]對(duì)文獻(xiàn)[6]的研究做了進(jìn)一步推廣; 文獻(xiàn)[9]把上述研究推廣到二元混合物中的熱傳導(dǎo)方程上; 文獻(xiàn)[10]研究了帶阻尼項(xiàng)的波動(dòng)方程在半無窮柱體上解的空間二擇性; 文獻(xiàn)[11]進(jìn)一步研究了波動(dòng)方程在球體外部區(qū)域上解的空間爆破與衰減性質(zhì).

文獻(xiàn)[15]考慮了瞬態(tài)調(diào)和方程在非線性動(dòng)力邊界條件下解的空間漸近性. 先把柱體的側(cè)面分成兩部分, 即?D=Ω1∪Ω2,Ω1∩Ω2=?, 再假設(shè)解在Ω1和Ω2上分別滿足不同的邊界條件, 然后證明解的空間二擇一性質(zhì). 受文獻(xiàn)[15]的啟發(fā), 本文研究非標(biāo)準(zhǔn)條件下的熱量方程：

其中

δ是一個(gè)大于零的常數(shù). 本文假設(shè)存在大于零的常數(shù)C1, 使得

(6)

條件(6)可以滿足, 例如可取f(u)為

f(u)=a1(2-cosu)u2p-1,

(7)

其中a1>0.

本文工作是對(duì)目前已有結(jié)果的進(jìn)一步推廣, 但與已有結(jié)果相比, 有幾點(diǎn)不同： 1) 與文獻(xiàn)[15]相比, 本文把解的二擇一結(jié)果推廣到非標(biāo)準(zhǔn)情形下； 2) 與文獻(xiàn)[1]相比, 本文考慮了非線性邊界條件, 因此, 文獻(xiàn)[1]中成立的某些微分不等式在本文不再成立, 文獻(xiàn)[1,15]的方法并不能直接應(yīng)用到本文中, 文獻(xiàn)[1]是本文結(jié)果的一個(gè)特例； 3) 本文把已有結(jié)果進(jìn)一步推廣到更一般的拋物方程中.

1 主要結(jié)果

令Dz表示R在x3=z處的橫截面, 即

Dz={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈D,x3=z}.

令Rz表示R的一個(gè)子集, 即

Rz={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3≥z≥0}.

顯然,R0=R,D0=D.此外, 記

Ω1(z)=Ω1×{z},Ω2(z)=Ω2×{z}.

引理1[16]如果u是一個(gè)光滑函數(shù),D是二維空間中的一個(gè)有界區(qū)域, 則存在大于零的常數(shù)C2, 使得

首先建立一個(gè)輔助函數(shù)

(8)

在式(8)中利用散度定理和方程(1)-(5), 可得

其中z0是x3軸上的一個(gè)點(diǎn). 對(duì)式(9)微分, 可得

通過對(duì)函數(shù)E(z,T)進(jìn)行分析, 可得以下二擇一定理.

定理1設(shè)u為方程(1)-(5)在一個(gè)半無窮柱體R上的解, 其中f(u)滿足式(6),δ2>1. 則或者

成立, 或者

成立, 其中β1是大于零的常數(shù).

注1定理1表明, 當(dāng)z→∞時(shí)方程(1)-(5)的解或者指數(shù)式增長或者指數(shù)式衰減.

定理2設(shè)u為方程(1)-(5)在一個(gè)半無窮柱體R上的解, 其中f(u)滿足式(6),δ2=1. 則或者

(13)

成立, 或者

(14)

成立, 其中c4,β2和Q0是大于零的常數(shù).

此時(shí)需要限定時(shí)間長度T、參數(shù)δ及區(qū)域Ω2, 使得

成立, 再結(jié)合式(10)可得

利用與定理1和定理2類似的方法可得解的二擇一定理.

注3由Q0的定義可知, 要使式(12)和(14)有意義, 必須推導(dǎo)-E(0,T)的上界. 采用與文獻(xiàn)[7-8,15]類似的方法可得以下定理.

定理3設(shè)u為方程(1)-(5)在一個(gè)半無窮柱體R上的解, 其中f(u)滿足式(6)及

(15)

則有

-E(0,t)≤C,

其中C是大于零的常數(shù).

2 主要結(jié)果的證明

2.1 定理1的證明

對(duì)于式(16), 存在以下兩種情形.

E(z,T)≥E(z0,T)>0,z≥z0>0.

由式(16)可得

即

(17)

對(duì)式(17)從z0到z積分, 可得

(18)

再結(jié)合式(9)可得式(11).

情形2) 如果對(duì)任意的z>0, 均有E(z,T)<0. 此時(shí)由式(16)可得

即

(19)

對(duì)式(19)從0到z積分, 可得

(20)

結(jié)合式(20),(21)可得式(12). 證畢.

2.2 定理2的證明

由于δ2=1, 所以式(9),(10)可以寫為

(22)

(23)

此時(shí), 重新計(jì)算式(16), 可得

(24)

利用引理1和Schwarz不等式, 可得

其中M1=[t·measure(Ω2)]1/2. 利用式(6), 可得

其中M2=[t·measure(Ω2)]p/(p-1). 將式(26)代入式(25), 可得

(28)

對(duì)于式(28), 存在以下兩種情形.

情形1) 如果存在一個(gè)點(diǎn)z0>0, 使得E(z0,T)>0, 與上述分析類似可得E(z,T)≥0, ?z≥z0. 所以式(28)可以寫為

(29)

利用Young不等式, 可得

(30)

把式(30)代入式(29), 可得

(31)

(32)

對(duì)式(32)從z0到z積分, 可得

在式(33)中舍棄不等式左邊的非正項(xiàng), 可得

(34)

(35)

式(35)表明E(z,T)隨z→∞指數(shù)式增長. 再結(jié)合式(20)即可完成式(13)的證明.

情形2) 對(duì)任意的z≥0, 均有E(z,T)<0. 此時(shí)由式(28),(30)可得

(36)

類似式(32), 可得

(37)

對(duì)式(37)從0到z積分, 可得

注意到-E(z,T)≤-E(0,T), 所以在式(38)中舍棄最后兩項(xiàng), 可得

(39)

(40)

(41)

結(jié)合式(40),(41)可得式(14). 證畢.

3 模型推廣

考慮二元混合物中的熱量方程, 該模型適用于層狀復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)問題[21], 文獻(xiàn)[22-23]對(duì)該模型做了進(jìn)一步的討論和推廣. 文獻(xiàn)[3]得到了非標(biāo)準(zhǔn)條件下二元混合物中熱量方程的解在R上的空間衰減估計(jì), 其中假設(shè)解在柱體的邊界上滿足齊次Dirichlet條件; 文獻(xiàn)[9]研究了二元混合物中熱量方程在側(cè)面上滿足非齊次Neumann條件的情形, 得到了解的二擇性. 與文獻(xiàn)[3,23]不同, 本文考慮局部非線性條件下解的漸近性.

二元混合物中的熱量方程可以寫為

其中k1,k2,b1,b2,δ1,δ是大于零的常數(shù).

在式(45)中, 函數(shù)f1(u)和f2(v)滿足