推廣概念 陶冶精神

樊萬阜

【摘要】概念生成的核心，就是要讓學生在探索、辨析、感悟和運用中提升自己的數學思維，完善自己的知識體系，構建自己的數學思想，以達到使學生獲得必備的數學素養與最佳發展的目的.掌握了概念的根，就可以準確把握知識在不同教學階段的不同含義和不同的教學要求：先從實際模型抽象出概念，然后用數學方法研究性質，最后運用模型解決問題.

【關鍵詞】概念生成；數學概念的核心；數學的本質

概念生成的核心，就是要讓學生在探索、辨析、感悟和運用中提升自己的數學思維，完善自己的知識體系，構建自己的數學思想，以達到使學生獲得必備的數學素養與最佳發展的目的.可以說，概念生成的過程，就是數學精神的陶冶過程.另外，每一節數學課，每一個數學概念，又都不是孤立存在的，我們應站在系統的高度來看待.也就是說，概念教學不能“就事論事”，只注重這個“點”，這樣只會“見木不見林”，應該找到知識體系大樹中，概念的根深藏于什么位置，圍繞根來開展教學，這是概念生成的基礎，這樣會讓學生體會“數學概念推廣” 這一重要的數學思維過程.

學習一個新概念，首先應讓學生明確學習它的意義、作用.因此，教師應設置合理的教學情景，使學生體會學習新概念的必要性.概念的引入，通常有兩類：一類是從數學概念體系的發展過程引入，一類是從解決實際問題出發的引入.

從數學體系發展過程角度看，一些概念是從數學知識發展需要引入的.例如：在講分數指數冪時，我們的教材上只是給出定義：a1[]n=n[]a（a>0）.為什么引入分數指數冪呢？教師可以引導學生回憶我們學過的加、減、乘、除、乘方、開方的概念的引入，以及相反數、倒數的引入過程：乘法的引入，就是當多個因數相加時，為了簡化運算，引入乘法；當多個因數相乘時，為了簡化運算，引入乘方.還有一些看起來是規定的概念，也要讓學生了解其規定的合理性.相反數的引入，將加法和減法統一為加法；倒數的引入，將乘法和除法統一為乘法；那么分數指數冪的引入，將乘方和開方統一為乘方.這樣學生就好理解了.另外，許多新概念的研究是與與之相似的概念類比進行的.例如，類比指數的運算法則引出對數的運算法則，類比指數函數引出對數函數，等等.

從實際問題的角度來看，數學概念一般來源于實際問題的解決或數學自身發展的需要，在其以定理、法則、公式這些冷冰冰的形式化知識展現的背后，隱藏著原始的、生動活潑的教學思維，這就是概念形成的目標.華羅庚教授說得好：“學習數學最好到數學家的紙簍里去找材料，不要只看課本上的結論.”中學數學概念與實際生活有著密切的聯系，讓學生了解概念的實際背景，有利于學生認識學習數學的作用，同時也能激發學生學習數學的興趣.函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，函數概念的引入就可以用學生熟悉的實際問題，如時間、速度、路程的關系；生產中的函數關系、氣溫變化、買賣商品中的函數關系等，引入函數概念.再如指數函數的引入，教師可以讓學生做一個折紙游戲：將一張厚度為0.1毫米的報紙進行對折1，2，3，…，30次，你知道會有多高嗎？若對折x次，得到高度為y，y與x 有怎樣的關系？學生很感興趣，動手去折，折到7～8次，就折不動了.用計算器算一算，對折30次，得到約為1087千米，并且得到y=2x（x>0）這個函數.這樣引入，既讓學生體會到生活中的指數函數，而且感受到了指數函數增加的速度，體會指數爆炸.

如果課堂教學抓不住數學概念的核心，沒有前后一致、貫穿始終的數學思想主線，在學生沒有基本了解數學概念和思想方法時就進行大量解題操練，就會導致教學缺乏必要的根基，學生花大量時間學數學，做無數的練習，但數學基礎仍很脆弱.例如，在學習指數函數后，利用指數函數的性質比較大小：（1.7）2.5，（1.7）3，學生能夠做對，但是說不清楚為什么.學生知道利用的是指數函數的單調性，卻把（1.7）2.5，（1.7）3這兩個數當成函數，說明學生對于函數概念、函數值、用函數觀點看問題，都需要再次理解.因此，一個概念的學習，不僅僅是一節概念課就能完成的，對概念的理解與掌握是一個循序漸進的過程，需要在概念課的后繼課程中不斷地反復應用，不斷地加深理解.

那么，我們在做教學設計時，應該怎么辦呢？ 首先問自己幾個問題：（1）概念的來源理清了嗎？（2）概念的內涵與外延是什么？（3）與之相關概念的相互關系是什么？（4）概念有什么文化作用？例如，向量概念，高中階段數學和物理所使用的傳統定義是：向量是一種既有大小又有方向的量.物理中的向量概念又叫矢量，例如速度、加速度、力等就是這樣的量，它是有自己的準確含義的；數學中的向量概念，它舍棄了物理中的實際意義，抽象為數學中的概念，強調的是向量的幾何意義.又如角的概念的推廣、復數的引入等我們都可以這樣處理.

掌握了概念的根，就可以準確把握知識在不同教學階段的不同含義和不同的教學要求：先從實際模型抽象出概念，然后用數學方法研究性質，最后運用模型解決問題，這樣就體現了數學知識產生和發展的過程，突出了數學的來龍去脈，有助于學生理解數學的本質，從而形成對數學的完整認識.