循“長短”，探“大小”

林秋宏

【摘 要】數學概念的建立，不應是概念術語的機械記憶過程，而要基于對數學本質的理解，注重意義構建，發揮學生學習經驗，注重遷移學習，建立知識之間的連接。本文以面積概念的教學為例，通過問題創設、激發經驗、操作理解、舉一反三，讓學生內化面積概念本質，初步形成幾何度量的認知結構。

【關鍵詞】概念教學 面積 本質理解 遷移學習 結構

一、教學設計思考

“面積”單元是北師大版數學三年級下冊的教學內容。教材對“什么是面積”和“面積單位”安排了兩個課時的教學，第一課時主要是結合實例，認識面積含義，通過比較長方形與正方形面積的活動，探索比較面積大小的方法;第二課時是認識常用的面積單位，體會面積單位的實際大小。

如何通過起始課的學習，讓學生對面積概念有更全面的認識和本質的理解呢？通過學情調研和教學實踐分析，基于單元整體教學理念，在教材整合和教學重構方面，我們進行了如下思考與嘗試。

（一）“度”“量”同行，理解本質

面積屬于度量概念。度量對象、度量單位和度量值是度量概念的三大要素，度量對象決定了度量單位，有了度量單位，才能給度量對象賦予“數值”，“度”（標準）和“量”（測量）是緊密聯系不可分離的?；诖?，從概念整體上把握，面積單位理應成為面積概念學習的重要組成部分，面積概念與面積單位放在第一課時里一起學習，更有利于學生感知面積單位的產生是對面積大小刻畫的需要，感受概念學習的全過程，建立對面積概念的整體認知。

另外，學情調研顯示：學生學習面積概念的一大難點在于容易與之前的周長概念混淆。實踐表明，盡早引入面積單位并讓學生進行“面”的大小的測量體驗，充分發揮先入為主的心理優勢，是學生有效區分面積和周長概念的重要方法與有效途徑。

（二）“線”“面”同行，形成結構

長度測量的學習為面積學習提供了重要的操作經驗和思維體驗，但教材的安排對此沒有相關體現，缺少喚醒學生長度學習經驗的素材，學生對面積內容的學習又要從“零”開始。在教學中，教師要充分利用學生學習長度時形成的認知、經驗和體驗，遷移進行面積方面內容的學習。如教師可通過長度測量中長度單位累加的過程，設計“測量線的長短的工具是一段一段的短線（長度單位），那測量‘面的大小的工具又應該長什么樣呢？”“你能結合長度測量的過程，大膽想象：我們該如何測量、表示‘面的大小嗎？”“長度和面積的測量有什么不同，又有什么共同點？”等問題，充分借助學生學習長度時形成的認知、經驗和體驗，引發學生對“面”的大小測量的思考與想象，通過梳理長度和面積知識的異同，初步形成幾何度量學習的一般過程和結構框架。

（三）“扶”“放”同行，注重遷移

新課標指出，動手操作、自主探索和合作交流是學生學習數學的重要方式。本課中，面積單位等內容屬于規定性知識內容，在教學此內容時，教師可采取靈活的學習方式，以其中一個面積單位，如以平方分米的學習為樣板，引領學生感悟面積單位的產生是為了表述面積大小的需要，再通過說一說、找一找、量一量等活動，對該面積單位的大小形成正確表象。而對于其他面積單位的學習，教師則可讓學生借助“平方分米”的建構方式進行自主探索，“扶”“放”結合，為實現學生群學、自學、互學提供可能，從而促使學生達成對面積單位的完整認知構建。

基于以上思考，我們將本課的學習目標定位為：從度量角度理解面積及面積單位的意義，建立常用面積單位的表象，經歷用“數的多少”表示“形的大小”的過程，初步形成學習“測量”問題的認知結構;通過觀察、對比、測量等活動，培養學生估測面積的能力和空間觀念。教學重、難點則是引導學生理解面積含義，經歷度量面積的全過程，體會面積的度量本質。

二、課例重點環節、目標與資源

“面積”單元教學的重點環節、目標和學習資料（見下表）。

三、教學過程展開舉例

環節一：創設情境，以“舊”引“新”

1.設疑導入，提出問題

師：同學們，朋友送了老師一幅畫，你們覺得漂亮嗎？老師想把它裝裱起來，掛到家里，怎么裝裱呢？先配上一層玻璃，四周圍上膠條，這樣就完成了。（PPT演示）

師：裝裱這樣的一幅作品，準備材料時，需要先了解哪些信息呢？

學生自主交流。

教師根據學生的回答板書：

問題一：膠條需要多長呢？

問題二：“玻璃面”有多大呢？

2.長度測量，激活度量經驗

師：哪個問題是我們已經學過的？我們可以怎么解決？

結合學生的回答，教師將“膠條”教具拉直貼出來（板書：線的長短），并用1分米的紙條測量其長度（板書結果：14個1分米）。

[設計意圖]通過創設裝裱作品中的問題情境，引出“膠條需要多長”和“‘玻璃面有多大”兩大問題，一舊一新，著眼全局，讓新問題自然地促進新概念的學習。長度測量的再現，讓學生體會到物體的長度就是其包含長度單位的數量，感受度量概念學習的三要素：對象、單位、度量值，并以此形成面積學習的思維框架，讓接下來的面積學習有跡可循。

環節二：問題解決，測量“面”的大小

1.遷移想象，大膽猜測

出示：一塊玻璃。

師：“玻璃面”有多大呢？這是關于“面”的大小的問題（板書：“面”的大小）?！懊妗钡拇笮∧軠y量嗎？該怎么測量呢？

師：測量線的長短，我們用了一段一段的短線進行測量，用學生大膽猜測一下，測量“面”的大小，我們又該用什么工具呢？

生1：用尺子，把它的四條邊量出來，再加起來就是這個“面”的大小。

生2：我不同意，你那樣量出來的是它的周長，也還是在量膠條的長度，我們現在要測量的是“面”的大小（生摸一摸“玻璃面”）。

生3：我同意生2的說法，尺子是用來測量線的長短的，“面”是一大片一大片的，量“面”的大小應該是一塊一塊的。

生4：測量線的長短是用短的線，我覺得測量“面”的大小可以用小一點的“面”，如我們的“手掌面”。

……

2.小組活動：用不同的工具量“面”的大小

師：大家的想法都很有意思！到底用什么工具來測量“面”的大小呢？我們不妨來親手量一量？

出示操作要求：

（1）想一想：可以借助什么東西測量“面”的大?。?/p>

（2）量一量：動手量一量“玻璃面”有多大。

（3）說一說：“玻璃面”大約有（ ）個 的大小。

學生選擇用正方形學具（1平方分米）、小圓形、練習本、“手掌面”等進行“面”的大小的測量。

3.展示作品，匯報交流

生分別反饋幾種方法測量的過程與結果，師結合學生的匯報填寫測量結果。

4.梳理小結，對比優化

師：量“玻璃面”的大小，我們用了這么多種不同的方法，請同學們說一說自己的想法。

生1：我覺得用“手掌面”測量不太好，因為每個人的“手掌面”大小不同。

師：也就是說，測量的工具大小要相同，對嗎？

生2：用練習本測量不太準確，只能說“玻璃面”大約有四本練習本封面的大小，因為有的地方沒有測量到。

生3：我覺得應該選擇小正方形來測量比較好，因為用正方形來鋪，鋪得比較滿，沒什么空隙，這樣比較準確。

師：雖然同學們選擇的測量工具都不相同，但都在努力做一件什么事情呢？

生：都想努力把“玻璃面”鋪滿，都想量出“玻璃面”的大小。

師：通過剛才的討論，你們更喜歡哪一種測量工具呢？

……

[設計意圖]本環節，學生在解決“‘玻璃面有多大”的問題中，借助長度的測量經驗，通過測量工具的想象與選擇、測量過程的操作、測量結果的表達，經歷“小‘面量大‘面”的全過程，充分利用先入為主的心理優勢，感受面積是“量”出來的，感悟以“數量”刻畫“大小”的面積測量本質，達成對面積概念的初步建構。

環節三：認識面積單位，揭示面積含義

1.找一找：認識1平方分米

師：同學們都很會思考。在學習面積的相關知識時，我們可以用這樣的正方形來測量“面”的大小。這個正方形的邊長是1分米，它的大小就是1平方分米。這樣的1平方分米就是我們用來量“面”的大小的單位。

師出示“1平方分米”的透明膠紙。

師：大約需要多少個這樣的1平方分米透明膠紙才能鋪滿這個“玻璃面”呢？

生：12個。

師板書12個1平方分米。

師：請同學們找一找，身邊哪些“面”的大小接近1平方分米？

生找到“開關盒面”“粉筆盒面”“手掌面”等。

2.量一量：借助1平方分米測量身邊物品“面”的大小

師：有了這樣的1平方分米，我們還可以測量身邊哪些“面”的大小呢？

學生分小組利用1平方分米學具測量身邊物品，如數學課本封面、“課桌面”和“隊徽火炬面”等的大小，并匯報。

生上臺擺一擺、說一說。

3.說一說：揭示面積的含義

師：我們用1平方分米的小正方形測量出了“玻璃面”的大小、“課桌面”的大小、數學課本封面的大小，我們測量出來的這些“面”大小的結果就是它們的面積。如我們用12個1平方分米的小正方形測量出“玻璃面”的大小，也就是“玻璃面”的面積是12平方分米。教師引導學生結合身邊物品、課件舉例說明。

4.認一認：認識更多的面積單位

師：如果還用這樣的1平方分米來測量地面、“小樹葉面”的面積，你覺得怎么樣？

生：用1平方分米量“樹葉面”的面積太大了，量舞臺的面積又太小了。

師：也就是說1平方分米不夠用了！同學們猜一猜，還有哪些面積單位呢？

生：我覺得面積單位還有平方米、平方厘米……

師：沒錯！我們常見的面積單位有平方米和平方厘米。它們又分別有多大呢？這個任務就交給同學們來探索。你們可以像剛才學習“1平方分米”一樣，通過說一說、找一找、圍一圍、量一量的方法來認識它們。

師：同學們可以先在小組內自主交流對1平方米和1平方厘米的認識，再小組匯報。

生1：我們小組對1平方厘米進行了探究。我們發現1平方厘米和1平方分米的規定類似，邊長1厘米的正方形的面積就是1平方厘米（生一邊說一邊展示自己畫出來的“1平方厘米”）。

生2：我知道大拇指的指甲蓋、校服上紐扣的面積都大約是1平方厘米。

生3：平方厘米是比較小的面積單位，可以用它來測量比較小的“面”，如這個橡皮擦的“面”就大約是6平方厘米（生出示一塊橡皮擦）。

生4：邊長是1米的正方形的面積就是1平方米。1平方米大概就這么大（小組4人手拉手圍出一個面積大致1平方米的正方形）。

生5：我聽爸媽說，我家房子的面積大約是80平方米?，F在我知道，如果用1平方米的地磚來鋪家里的地面，大約需要80塊這樣的地磚。

……

[設計意圖]學生在優化度量工具的過程中自然引出面積單位——平方分米，從而讓學生體會面積單位的產生是表達“面”的大小的需要，有效地將“度”和“量”建立聯系。反過來，利用這樣的1平方分米，我們還可以測量身邊哪些“面”的大小呢？由度量工具尋找更多的度量對象，借助大量例子，歸納梳理出面積概念的含義，不拘泥于文字的生硬表述。學生借助“平方分米”的認識過程，自主遷移學習其他面積單位，達成對面積概念、面積單位的整體構建。

環節四：課堂小結，打通聯系

師：今天我們在解決“需要多長的膠條”的問題中復習了長度的內容，并在此基礎上認識了面積，那么量長度和量面積有什么不同？又有什么共同點呢？（出示PPT）

生1：長度量的是線的長短，面積量的是“面”的大小。

生2：它們的單位“長”得不一樣，長度單位是一段一段的，面積單位是一塊一塊的。

生3：我覺得測量都差不多，都是要用“單位”把它們擺滿。

……

師：就像大家說的一樣，長度和面積雖然看起來都不一樣，但它們都是屬于測量的問題。測量時，我們都需要確定“量什么”，長度“量”的是線的長短，面積“量”的是“面”的大小。明確量什么后，就要“定標準”，測量長度的標準就要使用長度單位，測量面積的標準就是我們今天認識的這些面積單位。有了標準就可以測量了，測量后，就可以“數結果”，也就是測量結果用數出來的單位個數來表示。

師小結全課，梳理測量內容的學習過程：“量什么”—“定標準”—“數結果”，并板書。

[設計意圖]在小結環節，基于學生的交流，引導學生進一步反思長度、面積測量的學習體會：重溫明確研究問題（量什么）、認識測量單位（定標準）、得到測量結果（數結果）的學習過程，幫助學生形成圖形測量的一般學習過程，形成相對穩定的認知結構。

四、板書設計

五、課后反思

本節課教學，以理解面積概念的度量本質為目標，逆向設計，借助長度測量經驗，突破教材限制，大膽創新，注重關聯，有效地促進了學生對面積概念的深度理解。

（一）突破教材，有效整合

各版本教材對本課內容的整體安排大同小異：第一課時先通過身邊實物表面大小的具體實例抽象出面積的描述性“定義”，讓學生模仿表述，理解概念，再通過探索比較面積大小的方法，初步滲透單位意識;第二課時再全面介紹各種面積單位的相關內容。

我們認為：面積大小比較環節對于面積單位的產生能起到一定的啟發作用，但也容易讓學生陷入“比較面的大小”結果的爭辯和方法的對比中，弱化了對面積含義的本質理解。因此，本課舍棄面積大小比較環節，將面積單位整合到本課時，“度”“量”同行，淡化概念文字表述，創造性地抓住面積的上位概念“度量”展開活動探究和別開生面的面積概念教學，調動學生已有的長度測量的經驗，理解面積的本質，通過類比推理、意義想象，充分感知面積的本質含義。

（二）注重關聯，形成結構

張丹教授指出：“觀念統整”教學是基于數學大觀念的整體設計，目標直指學生實現意義理解和自主遷移。本課教學中，在解決完“膠條的長度”問題后，教師放手讓學生借助已有測量經驗，解決“‘玻璃面有多大”的新問題，前聯后延、舉一反三、觸類旁通，引導學生梳理出學習“圖形測量”內容的認知結構，即明確測量對象（量什么）、認識測量單位（定標準）、表示測量結果（數結果），幫助學生感受圖形測量的數學本質，以此為學生后續學習角度度量、體積度量提供相應的經驗。從整體著眼，強調“結構”的體驗，讓學生的學習更具“深度”。