多視角賞析一道高考題

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學 835400)

一、題目呈現

(1)求C的方程；

二、試題解答

以下重點探討第(2)問.

分析1 利用直線的點斜式方程將兩條直線分別表示出來，再將兩條直線分別與雙曲線方程聯立，結合韋達定理表示|TA|·|TB|和|TP|·|TQ|，通過系列運算，消元得解.

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

即k1+k2=0.

評注解法1利用直線的點斜式方程求解，利用弦長公式表達對應線段長度，結合位置關系判斷相關量的正負，避免討論.

分析2 直線的參數方程中參數t能表達長度，本問題中牽涉到4個有關聯的長度.因此我們可以引入直線參數方程，理順相關長度與t的關系，再利用整體處理的技巧消元得到兩直線斜率關系.

由參數t的幾何意義,得

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

整理，得cos2α=cos2β.又α≠β，所以cosα=-cosβ，即α+β=π.所以tanα+tanβ=0.所以k1+k2=0.

評注解法2是利用直線參數方程中參數t的幾何意義求解，此解法非常簡捷.只要正確掌握t的幾何意義，就能快速準確地用α將|TA|·|TB|表示出來，再利用替換法則，同理可求|TP|·|TQ|.由于引入了三角，明顯比解法1運算量小，但需要把直線參數方程學通悟透.

分析3 由題設|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|聯想到A,B,P,Q四點共圓，進一步利用二次曲線系方程表達圓的條件建立兩直線斜率關系式，整體運算，快速得解.

(*)

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，所以A,B,P,Q四點共圓.于是(*)式表示一個圓，因此xy項的系數為0.

將(*)式化簡整理可得xy的系數為-k1-k2，于是-k1-k2=0，所以k1+k2=0.

評注解法3利用二次曲線系求解，此解法非常簡單.教材中雖沒有明確提出，但在直線與直線、直線與曲線、曲線與曲線的位置關系的習題中都蘊含著這種思想，學生可以拓展知識體系，增加所學知識的廣度和深度.不難發現三種解法中，解法1最麻煩，解法3最便捷.因此拓展學習很有必要，思維訓練很關鍵，思維簡化了運算，這正是數學的重要功能：培養人的理性思維.

三、追根溯源

(人教A版數學4-4“坐標系與參數方程”第38頁例4) 已知AB,CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2.求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

分析與課本上的例題4進行對比，本高考題實質上就是互換條件和結論，而且課本上的例題更具有一般性，現利用直線的參數方程簡證如下：

評注這是一道具有一般意義的直線與橢圓的分點弦問題，利用直線參數方程容易證明.如果把橢圓換成雙曲線，就是本次新高考問題條件和結論互換后的一般問題，結論也是正確的！

四、解后反思

高考命題專家命制高考試題時都是以教材為藍本，并適度創新，以考查學生的能力和素養.課本是數學知識和數學思想方法的載體，又是教學的依據，理應成為高考數學試題的源頭.