一道壓軸小題的巧解淺議圓錐曲線離心率的常見求法

杜海洋

(四川省成都經濟技術開發區實驗中學校 610100)

一、試題呈現

二、試題解析

分析本題根據角平分線性質列比例式求出PF1,PF2的比例關系，從而建立a,b,c的關系.實質上,本題可改求離心率，其本質一樣.

點評本題的解答關鍵是根據角平分線性質列比例式求出焦半徑的比值關系，再利用焦半徑與長半軸或到焦點最短距離的關系建立不等式，此法起到“秒殺”效果，凸顯數形結合的解題功效.

點評此法與方法2本質一樣，主要利用橢圓上點到兩焦點的距離差建立不等式，而不用兩焦點的距離和2a>2c(恒成立),相反，雙曲線則利用到兩焦點距離和而不是差.

點評此法在于建立以動點的某一坐標為函數，再利用坐標的取值范圍建立不等式求解，此思路也是求解這類問題的通用解法.

點評方法5與方法4的區別在于建立以線段長度為變量，再利用長度取值范圍建立不等式求解.

點評由角平分線建立線段比值，由點的軌跡方程可得點P的軌跡為圓(阿波羅尼斯圓)，再利用兩圖象有公共交點建立不等式求解，此法要留意圓心與焦點的位置關系，弄清為什么右頂點到圓心的距離為最短是本法的難點.

三、試題變式

分析根據角平分線性質列比例式求出點M的橫坐標m的范圍，再計算|MB1|+|MB2|的范圍.

所以F1(-1,0)，F2(1,0)，B1(0,-1)，B2(0,1).

分析畫出圖形，延長PF2，F1M交于點N，則△PF1N為等腰三角形，點M為F1N的中點，利用中位線的性質以及橢圓的定義結合圖形即可求解.

總之，求解離心率的范圍，重要的是根據幾何關系或代數關系建立關于a,b或a,c的等式，再進一步求出離心率.構建等式的常用方法有：

(1)利用圓錐曲線定義；

(2)利用幾何關系；

(3)利用點在曲線上.

離心率的取值范圍涉及到解析幾何、平面幾何、代數等多個知識點，綜合性強，方法靈活，解題關鍵是挖掘題中的隱含條件構造不等式.求離心率的取值范圍時要根據題意，因題制宜挖掘題中隱含的不等關系，構造不等式，尤其記住圓錐曲線的一些“二級結論”，在選填題中可以起到“秒殺”作用，從而快速求出離心率的取值范圍.