一個雙曲線選擇題的拓展思考

許銀伙

(福建省泉州外國語中學 362000)

解決直線與圓錐曲線位置關系幾乎都要用到韋達定理，因為它可以有效減少運算量，體現設而不求的方法，其運用技巧是解析幾何壓軸問題常見的關卡設置.本文通過拓展，研究當聯立直線與圓錐曲線方程后，所求式子中含有x1+x2，x1x2，mx1+nx2(m≠n)或同類型含y1,y2的分式時，如何運用韋達定理通過變形求出定值.

一、試題呈現

二、問題解決

三、拓展思考

思考1 本題作為選擇題，只要考慮特殊情況，可以輕易獲得正確答案，但其知識內涵沒有得到充分地考查和挖掘，很是浪費.如果改為解答題，比如探索kAP∶kBQ是否為定值呢？

所以(d+3)(y2-3y1)=0，解得d=-3.

思考2 如果問題改成通常的雙曲線方程，可以獲得一般性的結論嗎？

評注(1)本題還可以通過把y1寫成(y1+y2)-y2或者把y2寫成(y1+y2)-y1，然后將韋達定理代入，得到結論.

評注題中點E(m,0)(m≠0)如果換成點E(0,m)(m≠0)，其余條件不變，將無法獲得定值.

思考3 如果問題改成相應的橢圓方程，可以獲得類似的結論嗎？