盛液體燒杯重心位置的探討

李福奇

(甘肅省蘭煉一中 730060)

在高一的教輔資料中，有這樣的一道習題.

原題：如圖1所示，圓桶形容器內裝有一定量的某種液體，容器和液體整體的重心正好位于液面上的O點，現將液體倒出少許，則關于整體重心位置的變化下列說法正確的是( ).

圖1

A．下降 B．上升 C．不變 D．不確定

對于這個題，參考答案給出了這樣的解析：

解析當液體全部倒出時，重心在O點上方，當液體倒出少許時，液體的重心是下降的，故整體的重心可能下降，也可能上升，要看倒出液體的質量．故選D.

從這個題的解析可以看出，由于倒出液體的質量的多少不確定，給出了系統重心位置的變化不確定的結果.而對于盛液體的燒杯系統重心的具體變化過程，答案沒有給出明確的分析.有學生對于這個問題產生了如下質疑:

如圖2所示，初始狀態盛液體的燒杯系統重心在液面O點處.由于倒出部分液體，可以將系統分為倒出的液體和剩余部分(燒杯和剩余的液體)兩部分.從燒杯中倒出的液體重心設為A處，剩余的液體及燒杯的重心設為B處.現在將倒出的液體取走，剩余的液體及燒杯的重心依然不變，則系統的重心從O點移到B點，重心位置升高.學生認為答案應該是B.

圖2

學生對于這樣的分析，是合理的.若要得到盛液體燒杯的重心位置具體變化過程，需要通過定量計算來分析重心的位置變化.對于由多個質點組成的系統重心的位置，可以由質心公式表示.

如圖3所示，設燒杯的高度為H，燒杯的截面積為S，液體的密度為ρ，以燒杯底面圓心為坐標原點，燒杯中心軸為x軸，取燒杯質心位置為H0，注入液體的深度為h，則液體的質心位置h0，則系統的質心x可以由質心位置公式表示為：

圖3

其中x隨h0而發生變化，對方程進行變形整理

由均值不等式，其中

取最小值的條件是：

則x的最小值為：

=2h0=h

即燒杯與液體組成的系統重心在液面處時，系統的重心位置最低.

綜上所述，若是注滿液體的燒杯，將燒杯里的液體逐漸倒出，系統重心先降低后升高.當系統重心降至液面處時，燒杯與液體組成的系統重心位置最低.此時繼續倒出燒杯的液體，系統重心位置又會上升，當液體全部倒完時，系統重心又會升至空燒杯重心處.