這種解法正確嗎
——對“一道極值問題的另一種解法”的探討和感悟

劉永平

(中央民族大學附屬中學海南陵水分校 572400)

問題跳臺滑雪是勇敢者的運動，它是利用山勢特點建造的一個特殊跳臺．一運動員穿著專用滑雪板，不帶雪杖，在助滑路上獲得高速后從O點水平飛出，在空中飛行一段距離后在山坡上A點著陸，如圖1所示．已知可視為質點的運動員水平飛出的速度v0=20 m/s，山坡看成傾角為37°的斜面，不考慮空氣阻力，求運動員從O點水平飛出后到達與斜坡之間的距離最大處所用的時間及最大距離.(g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)

圖1 圖2

在這個解題過程中用到了EC=v0t1，為何EC=v0t1？式中的“t1”是運動員從O到達與斜坡之間的距離最大距離的時間，在“t1”內的水平位移BD應該等于v0t1，但這里用EC=v0t1計算結果也正確，說明了EC=BD，為啥這兩段相等呢？

我們猜想：如果C點是OA的中點，那EC就是△OFA的中位線，EC就是FA的一半.若“t1”是總時間的一半，那么BD也是FA的一半，這樣就得到EC=BD，那“t1”是總時間的一半嗎？

證明如圖3所示，與斜坡之間的距離最大處的速度方向應與斜坡平行.

圖3

由此可見，上面求解極值的過程已經應用了“運動員從O點到達與斜坡之間最大距離的時間是總時間的一半”，實際形成了循環推理，所以上面的求解極值的方法應該是不正確的.但由這個解答過程，我們不免可得到如下結論.

1.運動員從O到達與斜坡之間的距離最大時的水平位移，數值上等于豎直位移、水平位移、總位移構成的三角形的中位線，也就是只要物體從斜面的頂端水平拋出，且落在斜面上，都會得到這個結論的.

2.運動員從O點到達與斜坡之間的最大距離B點時，所用時間是總時間的一半，但在一半時間里沿OA方向的位移并非是總位移的一半，即時間上具有對稱性時，而空間上并沒有對稱性.

空間上為什么沒有對稱性呢？

證明：如圖4所示，沿斜坡和垂直斜面方向建立平面直角坐標系，將v0和G，分別向X軸進行分解，可得，沿斜坡方向做的是初速度為v0cosθ，加速度為Gsinθ勻加速直線運動，所以沿OA方向時間對稱時，位移并非稱.

圖4

從以上的證明思路我們發現，在解決平拋運動問題時，有時可以沿平拋運動位移方向和垂直于位移方向建立直角坐標系，將一個平拋運動轉化為“斜上拋運動”去分析，可能使問題簡單化.