淺析立體幾何中的軌跡問題

賈增福

(廣東省佛山市順德區華僑中學 528333)

一、試題呈現

A.當λ=1時，△AB1P的周長為定值

B.當μ=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值

解析取特殊點判斷.

評注本題也可以用建系的方法解決.本題以正三棱柱為載體，考查了空間中的動點軌跡與線面位置關系，學生通過取特殊值判斷或是通過常規方法建立坐標系，可以將問題很好地進行轉化.

二、立體幾何中簡單的軌跡問題探究

1.探究空間中動點軌跡的長度

圖1

評注本題考查了直棱柱的結構特征、直線與平面垂直的判定、扇形中的弧長公式等，以此來考查學生的能力.

圖2

2.探究與動點軌跡相關的最值問題

例2 如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為B1C1，C1D1的中點，點P是底面A1B1C1D1內一點，且AP∥平面EFDB，則tan∠APA1的最大值是( ).

圖3

評注本題考查空間中直線與直線之間的夾角等.由題意畫出圖形，可得點P的軌跡，從而實現了問題的解決，考查了學生的空間想象、數學運算及邏輯推理等能力.

變式如圖4，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AA1=4，P是側面BCC1B1內的動點，且AP⊥BD1，記AP與平面BCC1B所成的角為θ，則tanθ的最大值為( ).

圖4 圖5

評注本題通過空間直角坐標系，探究了空間中的動點軌跡，體現了空間向量在立體幾何中的工具性作用，考查了空間想象能力和數學運算能力，同時體現了函數與方程及轉化與化歸等數學思想.

本文通過具體實例，簡單探究了立體幾何中常見的動點問題，并對相關的數學方法進行了簡單分析，旨在通過此類問題的探究，可以更好地引導學生加強對立體幾何的學習，并讓學生在學習中，學會歸納、總結，提高綜合素質.