高中數學解題中整體思想的應用

楊則平

(安徽省桐城市第八中學 231400)

高中數學涉及很多思想，其中整體思想有著廣泛的應用，用于解題能有效降低計算復雜度，提高解題效率，有助于學生更好地樹立解題的自信.教學中應做好相關習題類型的匯總以及展示，使學生在以后學習中遇到類似問題能夠迅速破題.

一、用于解答向量習題

解答有關向量的最值問題時既要注重通解通法，使用向量的幾何與坐標運算進行解題，又要避免思維定勢的干擾，認真觀察題干中給出的已知條件，積極聯系所學的不等式知識，通過對已知條件的整體處理，達到簡化計算順利解題的目的.

例1 已知平面向量a，b滿足：1≤|a|≤2，1≤|a+b|≤3，1≤a·b≤2，則|b|的最大值為( ).

分析該題較為特殊，采用常規思路難以有效破題，而使用整體思想進行分析，可達事半功倍的效果.

因為1≤|a|≤2，兩邊平方得到1≤|a|2≤4，

即-4≤-|a|2≤-1.

①

又因為1≤a·b≤2，兩邊同乘以-2，則

-4≤-2a·b≤-2.

②

又因為1≤|a+b|≤3，兩邊平方，得到

1≤|a|2+2a·b+|b|2≤9.

③

二、用于解答不等式習題

高中不等式類型的習題，有時很難一眼看出解題思路，需要對給出的條件進行適當整理，而后尋找其共同的部分，通過將其中的一部分看成一個整體，使用一個字母替代，參數之間的關系便一目了然.當然運用整體思想解題時還應注重考慮整體部分的取值范圍.

又因為z≤3x，所以xy+2y2≤3x(2y-x).

①

三、用于解答數列習題

高中數列習題與函數結合起來要求數列的通項公式，難度較大，解題時既要注重運用整體思想化陌生為熟悉，又要注重靈活運用函數、數列性質，尤其應注重整體思想的應用，并根據題干情境，聯系所學求解數列通項公式的方法，如倒序相加法，便可順利解題.

A.an=n+1 B.an=3n+1

C.an=3n+3 D.an=n2-2n+3

兩式相加得到2an=2+2+…+2=2(n+1).

所以an=n+1.故選A.

四、用于解答圓錐曲線習題

高中圓錐曲線習題解題思路較為簡單，但實際動筆作答時若不注重整體思想的應用，計算非常繁瑣，很容易無功而返.教學中應引導學生多進行觀察與思考，把握相關方程的規律，將相關方程看成一個整體進行處理，以避免過多的計算.

例4 已知拋物線y2=2px上有三點A(2，2)，B，C，其中直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析將點A(2，2)代入y2=2px中易得y2=2x.

①

因為圓的方程為(x-2)2+y2=1，則r=1，設圓心為O，畫出拋物線和圓的圖象，如圖1所示.

②

③

如采用常規方法，將直線和拋物線聯立求出點B，C的坐標，難度較大，而采用整體法可大大簡化解題過程.

高中數學教學中，為使學生掌握利用整體思想解答不同題型的思路與技巧，既要做好對經典例題的深入剖析，使學生明白考查的知識點，把握何時應用整體思想，怎樣應用整體思想，又要組織學生多進行整體思想在解題中的應用訓練，并鼓勵學生做好訓練的反思與總結.