拋物線切點弦方程探究

郭軍艦

(西藏林芝市第一中學(xué) 860000)

圓錐曲線一直是高中教學(xué)的重點和難點，也是高考考查的壓軸點，曲線的切線又是近幾年考查的熱點，能夠更深層次地考查考生的邏輯思維能力，經(jīng)常需要把導(dǎo)數(shù)知識與曲線知識結(jié)合起來才能順利求解.

一、問題提出

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：根據(jù)對幾何(圖形)的分析，探索解決問題的思路，運用代數(shù)的方法得到結(jié)論，研究曲線之間的基本關(guān)系，解決幾何問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想，重點提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

試題以圓錐曲線中的拋物線為考查背景，考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系以及與之相關(guān)的定點、定值問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，綜合性強，思維能力要求高，要解答該題，學(xué)生需有較強的推理能力和運算能力.

二、方法探索

思路1 從切線入手思考，探索切點弦方程.

①

思路2 從求切點弦的方程入手，探索其方程.

所以x1+x2=2k,x1x2=-2m.

思路3 從切線斜率入手思考，探索切點弦方程.

整理,得2tx1-2y1+1=0.

②

設(shè)B(x2,y2)，同理得2tx2-2y2+1=0.

③

三、規(guī)律探究

例2已知曲線C：x2=2py，點D(m,n)是曲線C開口外的一點，經(jīng)過點D向曲線C作兩條切線，切點分別為A，B.求直線AB的方程.

探究由已知得，過點D且與曲線C相切的直線斜率一定存在，設(shè)切線方程為y-n=k(x-m)，即y=k(x-m)+n.代入x2=2py中，得x2-2pkx+2pkm-2pn=0.

所以Δ=(-2pk)2-4(2pkm-2pn)=0.

即p2k2-2pkm+2pn=0.

④

四、結(jié)論推廣

結(jié)論過曲線C：x2=2py開口外一點D(m,n)作曲線C的兩條切線，切點弦直線方程為mx-py-pn=0.

從過程來看，此解法比前面的思路3過程還要簡捷，圓錐曲線知識中，拋物線方程有四種形式，這樣的結(jié)論也還有三種形式.

推論1 過曲線C：x2=-2py開口外一點D(m,n)作曲線C的兩條切線，切點弦直線方程為mx+py+pn=0.

推論2 過曲線C：y2=2px開口外一點D(m,n)作曲線C的兩條切線，切點弦直線方程為px-ny+pm=0.

推論3 過曲線C：y2=-2px開口外一點D(m,n)作曲線C的兩條切線，切點弦直線方程為px+ny+pm=0.

綜上，希望通過以上思路與方法的分享，能夠?qū)θ绾螒?yīng)用數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的思維方式，對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提升數(shù)學(xué)運算能力，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，以簡馭繁，思考并解決實際問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展起到拋磚引玉的作用，從而達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.