直線方程的八種形式及應(yīng)用舉例

朱賢良

(安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué) 246700)

確定一條直線的要素可以是直線的斜率和直線上一點(diǎn)，或者是直線上的兩點(diǎn).據(jù)此出發(fā)，可以得到直線方程的八種形式.

一、點(diǎn)斜式方程

已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0)，且斜率為k，那么稱(chēng)方程y-y0=k(x-x0)為直線l的點(diǎn)斜式方程.顯然，點(diǎn)斜式只能表示斜率存在(傾斜角不為直角)的直線；當(dāng)直線的斜率不存在(傾斜角為直角)時(shí)，該直線的方程可表示為x=x0.

二、斜截式方程

已知直線l的斜率為k，且在y軸上的截距為b，那么稱(chēng)方程y=kx+b為直線l的斜截式方程.實(shí)際上，斜截式方程可以看成是點(diǎn)斜式方程的特殊情形，也只能表示斜率存在(傾斜角不為直角)的直線.

三、兩點(diǎn)式方程

已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，那么稱(chēng)方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0為直線l的兩點(diǎn)式方程.任意直線的方程都可用這種形式表示出來(lái)，但不太方便記憶.

四、截距式方程

五、一般式方程

關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線，我們把方程Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)稱(chēng)為直線的一般式方程.

六、法線式方程

過(guò)原點(diǎn)作直線l的垂線段，若x軸到該垂線(與直線l垂直的直線稱(chēng)為直線l的法線)的角為α(把x軸依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至與該垂線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角)，且該垂線段的長(zhǎng)度為p，那么將方程xcosα+ysinα=p稱(chēng)為直線l的法線式方程.

法線式方程的推導(dǎo)方法多種多樣，下面介紹借助圓的切線方程進(jìn)行巧妙推導(dǎo)的方法：

“2018陜西百?gòu)?qiáng)企業(yè)”，是按照國(guó)際通行的方式，參照中國(guó)500強(qiáng)企業(yè)排序辦法，堅(jiān)持公平公開(kāi)公正等原則，依據(jù)企業(yè)2017年度營(yíng)業(yè)收入，在企業(yè)自愿申報(bào)的基礎(chǔ)上進(jìn)行排序，并經(jīng)“陜西省百?gòu)?qiáng)企業(yè)審定委員會(huì)”審定后產(chǎn)生的。現(xiàn)將排序名單予以公布。

如圖1，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)P，則x軸到法線OP的角為α，而垂線段OP的長(zhǎng)度為p，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(pcosα,psinα).

我們知道，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為p的圓的方程為x2+y2=p2，過(guò)此圓上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=p2，而所求的直線l可以看成是此圓上在點(diǎn)P(pcosα,psinα)處的切線，其方程為(pcosα)x+(psinα)y=p2，即xcosα+ysinα=p.

直線的法線式方程xcosα+ysinα=p，即xcosα+ysinα-p=0具有兩個(gè)特征：一是x,y的系數(shù)的平方和為1;二是常數(shù)項(xiàng)-p≤0(等于0時(shí)直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)).

七、點(diǎn)法向式方程

已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0)，且一個(gè)法向量(與直線l垂直的非零向量)的坐標(biāo)為n=(A,B)，那么稱(chēng)方程A(x-x0)+B(y-y0)=0為直線l的點(diǎn)法向式方程.

八、點(diǎn)方向式方程

讀者朋友，你能從直線的法向量與方向向量之間的關(guān)聯(lián)，說(shuō)明點(diǎn)法向式方程與點(diǎn)方向式方程的聯(lián)系嗎？

需要注意的是，各種形式方程的局限性并不完全一致，在解題時(shí)要注意加以考慮，作出合理的選擇，必要時(shí)需要進(jìn)行分類(lèi)討論.以下僅舉例說(shuō)明點(diǎn)法向式方程與點(diǎn)方向式方程的應(yīng)用，供讀者朋友參考.

例題已知ΔABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,2),B(9,-8),C(-1,4)，試求其外心與重心的坐標(biāo).

解析(1)求三角形的外心坐標(biāo)：外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故只需要求出其中兩條邊的垂直平分線方程，聯(lián)立解得它們的交點(diǎn)，此即三角形的外心.

(2)求三角形的重心坐標(biāo)：重心是三邊中線的交點(diǎn)，故只需要求出其中兩條邊的中線方程，聯(lián)立解得它們的交點(diǎn)，此即三角形的重心.

評(píng)注在求取直線的方程時(shí)，根據(jù)已知條件選用合適的形式進(jìn)行表示.本題求垂直平分線方程時(shí)，易求其法向量坐標(biāo)，故選用點(diǎn)法向式；求中線方程時(shí)，易求其方向向量坐標(biāo)，故選用點(diǎn)方向式.