巧用曲線系方程 妙解解析幾何題

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學 241000)

我們知道，若兩曲線C1：f(x,y)=0，C2：g(x,y)=0有公共點M(x0,y0)，則過點M的曲線系方程為f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)(不包含曲線C2).

筆者在教學中發現，很多解析幾何問題若能使用曲線系方程解題，可以達到事半功倍的解題效果.

一、求曲線的方程問題

解析設所求曲線方程為(x2+2y2-2)+λ(x2-2y+1)=0(λ∈R)，即(λ+1)x2+2y2-2λy+λ-2=0，與x+y=0聯立，得(λ+3)x2+2λx+λ-2=0.由題知Δ=4λ2-4(λ+3)(λ-2)=0，解得λ=6，所以滿足條件的曲線方程為7x2+2y2-12y+4=0.

二、求斜率為定值問題

例2 已知拋物線y2=2px上三點A(2,2)，B，C，若直線AB,AC的斜率互為相反數，則直線BC的斜率為____.

得(y-2)2(k2y2+4k2y+4k2-4)=0.

三、求斜率和為定值問題

①

又|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，由圓的相交弦定理的逆定理知A,B,P,Q四點共圓.由圓的一般式知方程式①中xy項系數為0，得-(k1+k2)=0，則k1+k2=0.故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

四、求斜率積為定值問題

五、求數量積為定值問題

六、求直線過定點問題

七、求圓過定點問題

例7 已知拋物線C：x2=-2py經過點(2，-1).設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，且直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

八、求四點共圓問題

本文介紹的“曲線系方程”法， 為今后解決一類解析幾何問題提供了新的思路，相較于聯立直線與曲線方程的通法，該法過程簡潔、計算量小，可以提高解題效率，但是該法有其局限性，我們在日常的學習中，要結合自身掌握程度和實際情況，選擇最佳的解題方法，不能盲目追求某一種解法，要學會從不同的解法中汲取不同的數學思想，從而提高自身的數學核心素養.