2020年全國Ⅰ卷理科解析幾何第20題的剖析與探究

楊偉達

(廣東省廣州市花都區第二中學 510800)

一、題目再現

(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點.

考點分析試題分為兩問，第(1)問注重基礎，以向量的數量積為工具，結合橢圓性質求橢圓方程，難度較小；第(2)問考查直線與橢圓位置關系、一元二次方程、韋達定理、直線方程，突出對數學核心素養的考查.從思想方法和數學素養層面看，本題考查了函數與方程、轉化與化歸、數形結合、邏輯推理及處理復雜表達式的運算求解等.

二、思路探究及解答過程

1.思路探究

(1)嘗試用自己的語言表述題目的已知條件、結論、未知量是什么

(2)常見相關類型題目及解題思路

有關直線與圓錐曲線相交問題常見的方法是聯立方程組，利用方程組求解.

(3)思維障礙

本題涉及三條直線，與橢圓相交需要聯立方程組，消元轉化為一元二次方程，方法簡單自然，但涉及運算量較大，不少學生渴望而不可求.

(4)思路分析

第(1)問：b=1，由橢圓的性質及向量數量積可列方程求出a的值；第(2)問：設直線AP和直線BP分別與橢圓相交，求出CD的直線方程，從而判斷直線CD恒過定點.

2.解答過程

解法1 (聯立方程組+韋達定理)

綜合比對，求解方法一樣，只是將橢圓問題變成圓的問題，圖形變得簡單，運算量也變小，但是要進行伸縮轉換，還原求值，僅供參考.

三、解題后反思

1.不變的通性通法，突顯核心素養

首先，全方位考查直線方程.不管是從點到線還是從線到點，離不開直線與橢圓相交,在涉及過點M求直線方程時常常“缺什么設什么”.即缺少斜率，在斜率存在時不妨設斜率為k，所以直線方程為y-y0=k(x-x0).

再次，直線與圓錐曲線的交點問題常常聯立方程組轉化為一元二次方程、判別式、韋達定理等.這種“獨木橋”式的通性通法在高考中屢見不鮮.特別是消元和運算求解方面要求更高.總之，考查學生運算求解素養依然是高中數學重點考查的素養之一，也是高考突顯選拔、分層功能的重要體現.

2.變更條件、編寫題組

變式2 已知A,B分別為圓E：x2+y2=1與x軸的左、右交點，點P為直線x=m(m>1)上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.證明：直線CD過定點.