2020年高考全國Ⅲ卷理科第20題的解答與拓展

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學 528315)

一、題目呈現

(1)求C的方程；

(2)若點P在C上，點Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ，求△APQ的面積.

由于問題(1)較為簡單，本文不作討論，下面對問題(2)進行解答與探究拓展.

二、解法探究

分析由已知可得點B是定點，可考慮設P(x0,y0)，Q(6,n)，通過參數將題目的條件進行翻譯與轉化.

分析由題意，點P由直線BP與橢圓C確定，點Q由直線BQ與直線x=6確定，結合已知條件，利用直線BP的斜率k作為參數將題目的條件進行翻譯與轉化.

整理,得(1+16k2)x2-160k2x+(400k2-25)=0.

以下同解法1.

分析由條件|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，可知由點P的坐標可以確定點Q的坐標，反之亦然.由于點Q的橫坐標為6，故可用點Q的坐標來確定點P的坐標.仍然用斜率作為參數將題目的條件進行翻譯與轉化.

以下同解法1.

分析由橢圓的對稱性，不妨設點P,Q在x軸上方.如圖1，過點P作x軸垂線，垂足為點M，設x=6與x軸交于點N，由△PMB≌△BNQ，可求得點P坐標以及直線AQ的方程，根據點到直線距離公式和兩點間的距離公式，即可求得C的面積.

解法4(平面幾何角度)由橢圓的對稱性，不妨設點P,Q在x軸上方.因為點P在C上，點Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，過點P作x軸垂線，垂足為點M，設x=6與x軸交于點N，如圖1.

由于|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB=∠QNB=90°，又因∠PBM+∠QBN=90°，∠BQN+∠QBN=90°，故∠PBM=∠BQN，所以△PMB≌△BNQ.

所以|PM|=|BN|=6-5=1.

①當點P為(3,1)時，故|MB|=5-3=2.

因為△PMB≌△BNQ，所以|MB|=|NQ|=2，可得點Q為(6,2)，如圖2.

②當點P為(-3，1)時，故|MB|=5+3=8.因為△PMB≌△BNQ，所以|MB|=|NQ|=8,可得點Q為(6，8)，如圖3.

三、試題推廣

將考題一般化，可以得到如下結論：

證明由橢圓的對稱性，不妨設點P,Q在x軸上方,設P(xP,yP)，Q(k,yQ).因為點P在C上，點Q在直線x=k上，且|BP|=t|BQ|，BP⊥BQ，過點P作x軸垂線，垂足為點M，設x=k與x軸交于點N，如圖4.

由于|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB=∠QNB=90°，又因為∠PBM+∠QBN=90°，∠BQN+∠QBN=90°，故∠PBM=∠BQN，所以△PMB∽△BNQ.

整理,得yQx-(k+a)y+yQa=0，

即yQ(x+a)-(k+a)y=0.

四、類比拓展

經探究，在雙曲線中也有類似的結論：

學數學離不開解題，對于一道優秀的試題，應該在獲得解答的基礎上，多角度展開嘗試與聯想，借助題目，探索隱藏在題目背后的奧秘，力求擴大戰果.從特殊到一般的數學思想是解析幾何中數學發現的重要手段，只有養成多思善想、舉一反三，鉆研到底的學習習慣，才能在學習中獲得無窮的樂趣，使思維得到發展.