Volterra 型算子從導數Hardy 空間到加權Dirichlet空間上的序有界性

羅慶仙

（廣東茂名幼兒師范專科學校 理學院，廣東 茂名 525200）

用H（Δ）表示復平面單位圓盤Δ上所有解析函數f組成的函數空間.對于g∈H（Δ），Volterra 型算子Tg及其伴侶算子Sg的定義分別如下：（Tgf）（z）=f（ζ）g'（ζ）dζ，（Sgf）（z）=f'（ζ）g（ζ）dζ，其中，z∈Δ，f∈H（Δ）.這兩個算子通過乘法算子Mg（f）=gf聯系在一起：Mg（f）（z）=g（0）f（0）+Tg（f）（z）+Sg（f）（z）.

Volterra 型算子在各種函數空間上的有界性和緊性等問題的研究一直是一個熱門的研究課題. Pommerenke 在研究BMOA 函數的增長性時首次研究并刻畫了Volterra 型算子Tg在Hardy-Hilbert 空間H2上的有界性［2］.之后，Aleman 等系統地研究了Volterra 型算子Tg在Hardy 空間Hp（0＜p＜∞）上的有界性和緊性條件［3-4］.關于Volterra 型算子Tg在Bergman 空間上的有界性和緊性的相關工作可參考文獻［5］.值得注意的是，肖杰研究了一種新型Qp空間上的Carleson 測度問題并由此刻畫了Volterra 型算子Tg的有界性等性質［6］.關于這類算子在其它一些解析函數空間的研究可見參考文獻［7-8］.

序有界性在研究一些具體的線性算子的性質時起著重要的角色. Hunziker 等證明了當1≤p≤q＜∞時，若復合算子從Hp到Lq（m）是序有界的，則該復合算子從Hp到Lq（m）是緊的［12］.關于一些相關算子在Hardy 空間和Bergman 空間上的序有界的研究可參考文獻［13］.

利用導數Hardy 空間Sp（0＜p＜∞）上的點值泛函δz的范數估計以及導數點值泛函δ'z的范數估計，Lin 等首次研究并指出了Volterra 型算子Tg、Sg及其相關的乘法算子Mg從導數Hardy 空間Sp（0＜p＜∞）到加權Dirichlet 空間（0＜q＜∞，-1＜β＜∞）上的序有界性的完整刻畫［13］.

1 Volterra 型算子Tg 及Sg 的序有界性

（2）證明與（1）的證明類似，故略之.證畢.

再由引理1 的（3），類似于定理1 的證明，可得定理2.

2 乘法算子Mg 的序有界性

這一節主要研究乘法算子Mg從導數Hardy 空間Sp（0＜p＜∞）到加權Dirichlet 空間（0＜q＜∞，-1＜β＜∞）上的序有界性.

（2）證明與（1）的證明類似，故略之.證畢.