關于向量兩個維度的量化表示

張青雨

【摘要】向量展現了幾何與代數的雙重特性，是解決幾何、代數、物理問題的重要工具，但其基礎邏輯較為復雜，很多學生難以理解，自然無法在實際中應用.因此，本文從向量兩個維度的量化表示入手進行研究，以期幫助學生量化實際的應用邏輯，并結合例題剖析，全面優化學生的解題思路，切實提高教學效率和教學質量，同時為向量教學提供一定的參考.

【關鍵詞】高中數學;向量理解;維度量化;數學語言

在高中數學教學內容中，向量占據了重要地位，它在其他數學知識的學習上也發揮著很大的作用.向量自身的屬性比較特殊，它可以將多個數學知識有機聯系在一起，切實提高教師教學的有效性.向量兼具了大小和方向，需要用多個實數進行確切表達.對于一個擁有雙重身份的概念，教師在實際教學過程中要引導學生從正確的角度入手，深入分析雙重維度的量化表達方式.

一、向量學習的重要性

向量作為高中數學教學中的重點內容之一，具有雙重身份，系統地研究、掌握向量內容可以讓學生的計算能力以及思維能力得到大幅度提高，為學生未來的學習奠定良好的基礎.不僅如此，向量中的數形結合思想可以促進學生對數學本質的理解，讓數學教學工作得到全面的提高.從數學課程改革發展的趨勢來看，向量作為解決數學問題的重要工具，可以有效促進學生解題能力的提高.但從目前來看，很多學生在向量理解上還存在問題，故教師必須提高學生對向量的理解，才能充分發揮向量的實際應用價值.向量最初應用在物理學中，而后逐漸被應用到了高中數學中.它以數、量和運算為根本，向量的加減法、數乘向量、向量的數量積都是非常重要的內容.高中階段的向量學習旨在為下一階段的學習奠定基礎.作為幾何代數化的重要組成部分，加強對關于向量兩個維度的量化表示的學習，可以讓學生建立學習自信心，從而在學習其他數學知識的過程中能和其他學科聯系在一起，以發展的眼光看待向量和中學數學的結合.

二、向量兩個維度的量化表示

第一，對向量的理解.向量是在數量的基礎上多了一個維度，它其實是兩個維度的量：數量+方向.因此，理解向量是學生的一個難點，尤其要在方向上加重對向量的理解.因此，數形結合在向量中的體現極其重要.

第二，在數量維度上，可以用向量的模來表示，那么按照教材的邏輯，如何用數學語言（公式）來表示方向這個維度呢？所以，我們需要引入向量的坐標表示，從而將向量的兩個維度都進行量化，用數學語言進行表示.

1.利用向量坐標實現向量維度量化

根據平面向量的基本定理，可知平面內任意一個向量OP在以另一組不共線的向量OA，OB為基底時，它有且僅有唯一的有序實數對（λ，μ）使得OP=λOA+μOB.而逆推可得基底（λOA，μOB）對應于向量OP.這種量化方式可以讓向量OP在坐標系中的坐標更加合理，將其和三角函數結合在一起綜合性會更強，可以更好地完成相關解題內容的處理.

平面幾何和平面向量之間也有著密切的聯系，但從目前來看，由向量的夾角可以推斷出幾何圖形的垂直關系，故利用向量的坐標運算可以確定圖形的位置關系.在高中數學中，向量的坐標運算是幾何問題代數化的重要工具，學生需要具備數與形的轉化能力和較強的邏輯思維能力.而這種向量兩個維度的量化表示無疑可以幫助學生更好地完成學習，將向量的作用發揮到最大.以下題為例，其中就運用到了向量的坐標運算，將向量的兩個維度進行量化，從更好地分析并解題.

例題在△AOB中，有OA，OB，AB三條邊，其中M和N分別為OA，OB兩邊上的點，在三角形中，BM，AN相交于點P，已知OA=a，OB=b，OM=λa（0<λ<1），ON=μb（0<μ<1），OP=p，求如何用a，b表達OP=p.

解題從圖1和已知數據來看，可以推斷出OP=p=ON+NP或者OP=p=OM+MP，此時，假設MP=mMB=m（OB-OM）=m（b-λa），

又ON=μb，設NP=nNA=n（OA-ON）=n（a-μb），

進而將兩個式子合二為一，化簡后就可以得到p=na+μ（1-n）b=λ（1-m）a+mb.在此基礎上，借助方程思想就可以進一步求出向量OP用a，b的表達式p=λ（1-μ）1-λμa+μ（1-λ）1-λμb.

由上可知，向量的方向性非常重要，要想準確地將p表達出來，可利用向量和向量之間的運算得到線段的數量關系，然后根據向量坐標得出不同點坐標之間的數量關系.由此可知向量坐標表達能力的重要性.在立體幾何運算中，這種量化表達方法也具有重要作用，這是因為在立體幾何運算中也可以將其轉化為平面問題進行解決，但需要注意向量的方向性.

2.借助數量和方向完成向量維度量化

在立體幾何解題中也可以利用向量的方法進行求解，如根據坐標得到線面角的大小，或者借助向量的方向、數量特性等得到線面角的大小.在立體幾何解題過程中，學生需要具備立體化思維能力，借助向量的加法、比例關系等得到相應的結果，有效解決三角函數問題.

例題某正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側棱長分別為a和2a，求直線AC1和平面ABB1A1所成角的大小.

本題可借助數量和方向完成向量維度量化，則可以有效判定線與面所成的角，利用向量進行解決效率較高，難度也會相對降低.

解題從圖2和已知條件中能夠明確得到A，B，A1，C1四點的坐標，取A1B1的中點D，其坐標也可以求出，按照圖2完成輔助線的連接，能夠進一步得到向量DC1，AB，AA1的坐標，按照相應的向量規律，可知DC1·AB=0，DC1·AA1=0，因此可知直線DC1和平面ABB1A1相互垂直，而直線AC1和平面ABB1A1之間的夾角為∠C1AD，根據向量坐標和向量夾角公式就可以得到角的大小為30°.

三、向量兩個維度的量化表示的教學建議

由上可知，向量在三角關系和幾何中得到了廣泛應用，其方法簡單，理解直觀，可以將坐標、線段、向量聯系在一起.但學生對其的理解還存在很多問題，無法真正發揮向量的價值，尤其是很多學生無法理解

向量兩個維度的量化表示.在實際教學中，向量的概念和定理都較為抽象，故教師在教學中將其量化表示是必要的，這可以確保學生更容易理解向量內容，同時認識到用向量解題的便利性.

（一）聯系實際展開量化表示教學

向量最開始出現在物理學中，都是具有大小和方向的向量，教師可以借助實際案例，更好地表現出向量的模以及單位向量的概念.高中階段，學生可以接觸到的向量主要表現在大小和位置關系兩個方面，結合實際生活案例可以讓這兩個維度得到更好的量化.比如，某公交車先向東開出500米，后又向北開出600米，然后又向西南開出200米，求公交車和起始點之間的距離和方位.利用向量可以很好地解決這一問題，建立平面直角坐標系就可以得到向量表達式.將數學知識和實際生活相結合，不僅能讓學生理解向量的實際應用價值，也可以使其了解向量的基本性質.教師在數學教學中應用位移、速度、加速度等物理量作為向量的因素，能讓學生更好地感受到向量的存在，從而對向量形成更加清晰的理解.

（二）重視聯系強化量化表示教學

從理論的角度出發，向量的代數性質貫穿整個高中數學，向量的運算同數的運算之間有著緊密的聯系，因此，教師在實際教學過程中可以引導學生對向量運算的規律進行總結和歸納，同時使學生明確向量的幾何意義，有效實現向量代數運算和位置關系之間的轉化，實現對向量兩個維度的量化表示.比如，當ab=0時，向量a和b之間屬于垂直關系.在高中數學教學中，幾何代數化的教學可以讓學生更好地認識圖形和空間，快速解決問題.教師在教學中有意識地滲透這一思想，對學生未來的學習具有重要的促進作用.在“平面向量”這一知識的教學過程中，教師要讓學生充分認識到向量概念和向量運算的重要性，明確平面向量和空間向量之間的區別，對向量形成多元、多維的認識.新時期，受到多方面因素的影響，數學教學方式日益豐富，課堂也朝著多元化的方向發展，面對不同的教學方式和教學渠道，教師的教學要貼合學生實際以及教學需求.在對一些抽象的數學知識進行教學中，教師可以借助多媒體技術進行教學，幫助學生理解幾何體知識，培養空間邏輯意識，也可以進行實際操作，使學生感受學習立體幾何的樂趣.

（三）鞏固基礎優化量化表示教學

現如今，高中數學教學在朝著“夯實基礎、回歸教材”的方向努力，故教師要正確對待數學基礎知識，從而讓學生認識到基本功的重要性.很多學生在學習向量時一味地借助向量特點展開計算，忽略了向量中的基礎概念、定理、公式等基本問題，在應用時想不起來，也無法第一時間從變式中找到關鍵.因此，教師在向量量化表示的教學過程中應重點針對基礎概念、定理、公式進行講解，尤其是概念的核心內容和附加條件，不僅要讓學生牢記熟記，還要能夠做到靈活應用和熟練掌握.向量作為蘇教版數學教材中最為基礎的部分，其涉及了大量的概念，而且很多概念都較為抽象，如果學生對概念掌握不牢固，那么真正做題時就會出現問題.因此，教師在教學時要適度放緩，確保每個重要的概念都講解清楚，并讓學生在掌握概念的基礎上利用課后練習題對知識點進行鞏固.此時，教師可以借助問題引導法，讓學生以小組為單位，自主閱讀教材，找出關鍵性概念，并在初步閱讀后，先自己完成課后練習題，在教師講解和小組分析后，重新對練習題進行審視，以加深印象，鞏固思考，強化認識，真正理解向量兩個維度的量化表示.

綜上所述，向量是數形結合體，雖然具有數形的特點，但是又不同于數形，它在解決數學問題中發揮著至關重要的作用.教師在向量教學中量化兩個維度的表示，可以讓學生對數學問題形成更加全面的理解，讓數學教學質量得到提高，還可以讓學生產生最直觀的感受，切實激發學生的想象力.這種表示方法可以讓學生更好地借助向量這種工具，運用數形結合的方式解決問題，真正理解向量的多重意義.

【參考文獻】

[1]王辰昊.高中數學中的向量研究[J].中國高新區，2018（02）：114.

[2]羅茜元.向量在解決高中數學問題中的應用研究[J].中華少年，2018（2）：147.

[3]樊昕.向量在高中數學中的工具性作用[J].中華傳奇，2019（6）：168.

[4]陳熙.平面向量教學中展開“說數學”活動的研究[J].數學大世界（小學五六年級版），2019（8）：15.