基于Bezier曲線的CIGS薄膜光伏電池I-V曲線簡單擬合方法

師 楠，朱顯輝，蘇勛文

（1. 黑龍江科技大學 工程訓練與基礎實驗中心，黑龍江 哈爾濱 150022；2. 黑龍江科技大學 電氣與控制工程學院，黑龍江 哈爾濱 150022）

0 引言

薄膜光伏電池和傳統的硅基電池相比，具有節省材料、理論效率高和便于安裝等優點，因此備受重視，被稱為第2 代光伏電池技術，其正在成為當前光伏電池產業的主要發展方向之一［1-2］。

目前銅銦鎵硒（CIGS）薄膜光伏電池是薄膜光伏電池中效率最高的模塊之一。據不完全統計，截至2019年5月，凱盛科技和神華等企業的CIGS 商業化模塊的光電轉換效率約為16%，漢能集團的CIGS模塊的實驗室光電轉換效率已達到了22.9%［1］。CIGS模塊的商業化進程正處于起步階段，雖然目前市場份額不多，但發展迅猛。

CIGS 等薄膜光伏電池從生產材料到制備工藝等均與硅基電池有較大的差異，該差異導致CIGS 模塊的電流-電壓輸出特性與硅基光伏模塊不同［3-4］。鑒于CIGS薄膜光伏電池的電流-電壓輸出特性曲線（即I-V曲線）是進行光伏最大功率點跟蹤、故障檢測和經濟效益評估的必要前提，對其進行研究具有的重要理論和現實意義［5］。

在CIGS 模塊商業化進程的起始階段，CIGS 模塊I-V曲線的建模問題得到了重點關注。例如文獻［6］利用現場實測的方式給出了CIGS 模塊的I-V曲線的特點；文獻［7-8］分別分析了老化和陰影對CIGS模塊輸出特性的作用效果；文獻［9］討論了溫度對CIGS 模塊輸出特性的影響規律；文獻［10］提出了一種利用四參數超越方程描述CIGS 模塊輸出特性的方法，文獻［11］利用簡化超越方程求解CIGS 模塊的I-V曲線，并嘗試利用最大功率點對精度進行校驗，但文獻［10-11］采用的迭代等數值求解方法需要大量的仿真時間；文獻［12］通過大量實測數據探討了雙二極管模型中二極管的擴散電流和復合電流隨輻照度的變化規律，文獻［13］提出了一種無需實驗，僅利用廠商給定數據的差分進化算法計算雙二極管模型的7個未知參數，文獻［12-13］重點是對CIGS模塊的超越方程的未知參數進行求解，并未給出對應的I-V曲線，因此無法直接應用于最大功率點跟蹤等工程實踐中。

為解決上述問題，本文利用Bezier 曲線優良的數據擬合能力，提出一種利用2條二階Bezier曲線直接擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的簡單方法，并以通過弦截法迭代求解的數值結果為基準，將擬合結果和文獻［10］的建模結果進行了對比分析，驗證了所提方法的準確性。和已有的CIGS 薄膜光伏電池建模方法相比，本文所提方法無需任何實驗測試數據，也無需對超越方程的參數進行迭代等數值求解，僅利用廠商數據即可直接給出CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線，計算簡單、耗時較短，且精度較高。

1 基于Bezier曲線的光伏電池建模方法

文獻［14］提出了利用Bezier 曲線擬合光伏電池I-V曲線的方法，本節對其進行簡要說明。

1.1 采用2條Bezier曲線擬合I-V曲線的基本思路

Bezier 曲線擬合的基本思路是利用一條光滑曲線逼近預先確定的空間數據點位置，由伯恩斯坦基函數構造的Bezier曲線表達式φ(x，y)如式（1）所示。

式中：m為Bezier曲線的階數；φi(xi，yi)為Bezier曲線中的控制點；0≤t≤1；Bi，m(t)為伯恩斯坦基函數。

給定式（1）中的控制點φi(xi，yi)，t取［0，1］范圍內的任一個數值都可以得到1 個φi(xi，yi)，遍歷［0，1］范圍內的t值后，即可得到Bezier曲線的軌跡。

由Bezier曲線的端點性質可知，當t=0和t=1時，Bi，m(t)=1，則式（1）滿足：

式（3）表明Bezier 曲線通過且僅通過第1、m+1個控制點，即Bezier曲線通過其起點和終點。

為了保證Bezier 曲線通過CIGS 薄膜光伏電池的短路電流點、最大功率點和開路電壓點，以一條Bezier 曲線擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的最大功率點左側的輸出特性，并將短路電流點和最大功率點作為本條Bezier 曲線的起點和終點；以另一條Bezier 曲線擬合I-V曲線的最大功率點右側的輸出特性，并將最大功率點和開路電壓點作為該條Bezier曲線的起點和終點，以得到較好的擬合效果。

1.2 Bezier曲線控制點的討論

進一步分析式（1）可知，Bezier 曲線的階數m越大，控制點的數量和曲線的計算就越復雜。考慮到一階Bezier 曲線為一條直線，無法滿足要求，為保證計算的簡單性，本文采用二階Bezier 曲線對CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線進行擬合。

2 條Bezier 曲線相交于最大功率點，保證2 條曲線在交點處的平滑過渡，對CIGS 薄膜光伏電池的最大功率點跟蹤和性能評估至關重要。為此，本文所提方法構造經過最大功率點，且與經過開路電壓點和短路電流點的直線平行的直線，在該直線上尋找Bezier 曲線控制點。通過在所構造的直線上選取2條二階Bezier 曲線的控制點，使2 條Bezier 曲線在交點處的一階導數均為0，滿足一次導數相等的條件，確保了2條Bezier曲線的平滑過渡。

為了進一步明確Bezier 曲線的控制點對曲線的影響規律，給出基于不同控制點得到的二階Bezier曲線如圖1所示。圖中，L為連接開路電壓點KU(Voc，0)和短路電流點KI(0，Isc)的直線，Voc、Isc分別為開路電壓點的電壓值、短路電流點的電流值；LP為經過最大功率點KP(Vm，Im)的直線，且LP與L平行，Vm、Im分別為最大功率點對應的電壓、電流值；LG為假定的實際光伏I-V曲線。以最大功率點KP右側曲線為例，分別以最大功率點KP(Vm，Im)和開路電壓點KU(Voc，0)作為二階Bezier 曲線的起點和終點，選取LP上的C1和C2作為控制點時，可分別得到Bezier 曲線LC1和LC2。由圖1 可見，控制點與最大功率點KP(Vm，Im)的距離越小，所得Bezier 曲線的凹特性越顯著，否則凸特性就越顯著；最大功率點左側的Bezier曲線的擬合效果和右側類似，此處不再贅述。

圖1 基于不同控制點得到的Bezier曲線Fig.1 Bezier curves based on different control points

由上述分析可知，通過選擇適當的控制點可以找到能夠較好地擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的Bezier 曲線，從而精確刻畫CIGS 薄膜光伏電池的輸出特性。

2 定端點弦截迭代求解的參考基準

為了討論Bezier 曲線對CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線的擬合效果，需給出誤差分析的參考基準。文獻［15］已經考察了以迭代求解的數值結果作為誤差分析基準的可行性。本節基于五參數超越方程，同樣利用迭代法求解CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線，并將迭代求解的數值結果作為分析Bezier 曲線擬合誤差的基準。

若要求解CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線的數值解，則需要已知超越方程的5 個未知參數，但廠商數據手冊并未給出這5 個未知參數的值［16］。為此，首先利用定端點弦截迭代算法對超越方程的5 個未知參數進行求解。忽略影響較小的常數項后，CIGS 薄膜光伏電池的超越方程形式如式（4）所示。

式中：Iph為光生電流；Io為二極管暗電流；Ns為串聯電池數；Rs為二極管串聯電阻；Rp為二極管并聯電阻；Vt為PN 結熱電壓；K為Boltzmann 常數；T為二極管結溫（單位為K）；A為二極管品質因子；q為電子電量。

為求解式（4）中的Iph、Io、Rs、Rp和A，將廠商數據手冊給定的短路電流點KI(0，ISC)和開路電壓點KU(Voc，0)代入式（4）可得：

基于式（6）、（9）、（11）—（13）可求解CIGS 薄膜光伏電池的超越方程的5 個未知參數。其中，式（11）—（13）為隱函數形式，需要以定端點弦截法進行求解。定端點弦截法是一種以牛頓迭代為基礎的改進數值計算方法，其基本思路是利用2 個確定點之間的差商代替牛頓迭代法中的一階導數，以避免復雜的偏導數求解過程，其迭代求解通式見式（14）。

式中：X(k)和X(k+ 1)分別為第k次和第k+1 次迭代解，k=1，2，…；X(0)為迭代初始值；f（·）為待求解的函數。

利用定端點弦截法對CIGS 薄膜光伏電池超越方程參數進行迭代求解時，需要對式（11）—（13）進行適當的變換，將Vt、Rs和Rp代替式（14）中的X，即可實現Vt、Rs和Rp的迭代求解。以Rs為例，定端點弦截法需要2 個初值，所以需要預先給定Rs(0)和Rs(1)，定端點弦截法求解流程圖見附錄A圖A1。

利用定端點弦截法對7 種不同的CIGS 薄膜光伏電池的超越方程進行求解，得到超越方程的5 個未知參數的求解結果如表1所示。

表1 CIGS薄膜光伏電池的超越方程的未知參數求解結果Table 1 Solutions of with unknown parameters for transcendental equation of CIGS thin-film photovoltaic cells

利用表1 可以得到參數已知的CIGS 薄膜光伏電池的超越方程形式。值得注意的是，此時需再次利用定端點弦截法對參數已知的超越方程進行迭代求解，才能得到CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的數值解，并將其作為Bezier 曲線的擬合誤差分析基準。該過程與超越方程的未知參數求解過程類似，本文不再贅述。

3 Bezier曲線控制點擬合規律

基于第1 節中的方法，利用Bezier 曲線對表1 中的CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線進行擬合，通過調節控制點的位置，得到不同精度的I-V曲線，從中選擇精度最高的I-V曲線作為最佳擬合結果。以迭代計算結果為基準，分析最佳擬合結果的誤差，結果如表2 所示。表中，emax和eav分別為擬合最大相對誤差和平均相對誤差。由表2 可見，Bezier 曲線對7 種不同的CIGS 薄膜光伏電池的擬合最大相對誤差均小于1.8%，平均相對誤差均小于1%，達到了較高的擬合精度。

表2 Bezier曲線擬合誤差Table 2 Error of Bezier function fitting

為探索擬合結果最佳的Bezier 曲線的控制點分布規律，給出基于某控制點得到的Bezier曲線如圖2所示。圖中，KIC(VC，IC)為控制點，(VC，IC)分別為控制點的坐標；O1(Vo，Io)為過KIC(VC，IC)所作的橫軸的垂線與過KP(Vm，Im)所作的縱軸的垂線的交點，(Vo，Io)為交點的坐標。

圖2 基于某控制點得到的Bezier曲線Fig.2 Bezier curves based on a control point

由第1節分析可知，Bezier 曲線控制點的位置決定了曲線的凹凸程度，在圖2 所示情況下，控制點距離最大功率點KP(Vm，Im)越遠，Bezier 曲線的凸特性越顯著。同時，考慮到光伏電池的填充因子FFF是能夠全面表征CIGS 薄膜光伏電池I-V特征的系數，滿足：

由圖2可以看出，△KIOKU和△KICO1KP呈相似關系，因此，可按照相似三角形的性質確定Bezier 曲線控制點的位置，以簡化分析和計算過程。

綜合分析上述因素，本文選取控制點KIC(VC，IC)與最大功率點KP(Vm，Im)的距離LICP以及短路電流點KI(0，Isc)與開路電壓點KU(VOC，0)的距離LIU之比作為縱坐標，以FFF作為橫坐標，得到KP(Vm，Im)左、右兩側曲線控制點位置與FFF之間關系的擬合規律如圖3所示。圖中，λf和λr分別為KP(Vm，Im)左、右兩側的LICP與LIU之比。

圖3 7種CIGS薄膜光伏電池控制點擬合規律Fig.3 Fitting law of control points of seven CIGS thin-film photovoltaic cells

進一步給出λf、λr與FFF之間的擬合規律分別如式（16）、（17）所示。

基于式（16）、（17）可以得到最大功率點左、右側控制點與最大功率點的距離，進而得到控制點的坐標，從而得到對應的Bezier 曲線用于擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線。本文方法無需進行任何實驗，僅利用廠商數據手冊給定的參數即可有效擬合不同廠家和型號的CIGS薄膜光伏電池的I-V曲線。

4 擬合規律的驗證

為驗證式（16）、（17）所示的擬合規律，重新選取4 種不同廠家和型號的CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線進行擬合，4種電池的型號、參數如表3所示。

表3 4種CIGS薄膜光伏電池的型號和參數Table 3 Types and parameters of four CIGS thin-film photovoltaic cells

將本文的擬合結果與文獻［10］的求解結果進行對比分析。文獻［10］利用簡化的四參數模型和迭代求解建立了CIGS 薄膜光伏電池的輸出特性曲線，具體形式如式（18）所示。

式中：Rs和A的計算公式分別如式（19）和式（20）所示。

將廠商給定的數據代入式（18）—（20）中，可得到CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線的超越方程，利用MATLAB 的fsolve函數進行迭代求解，即可得到文獻［10］的求解結果。

基于表3 中的廠商給定參數，利用式（16）、（17）分別確定2條二次Bezier曲線控制點位置，進而利用Bezier曲線實現CIGS薄膜光伏電池的I-V曲線擬合。將所得Bezier 曲線和文獻［10］的求解結果與本文第2節所得的參考基準進行對比，結果如圖4所示。進一步分析圖4 中的Bezier 曲線擬合結果和文獻［10］的求解結果與參考基準的誤差，結果如表4所示。

圖4 4種CIGS薄膜光伏電池的擬合結果Fig.4 Fitting results of four CIGS thin-film photovoltaic cells

由表4 可見，本文方法對4 種CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線的擬合最大相對誤差小于2%，平均相對誤差小于0.8%，均小于文獻［10］對應的誤差。另外，本文方法針對1000個數據點的平均計算時間為72 ms，文獻［10］方法針對501 個數據點的平均計算時間為20.4 s。可見，與傳統方法相比，本文方法不僅精度更高，且計算過程簡單、耗時更短，降低了計算成本。

表4 4種CIGS薄膜光伏電池的擬合誤差Table 4 Fitting erros of four CIGS thin-film photovoltaic cells

5 結論

本文主要利用廠商給定數據，采用Bezier 曲線擬合CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線并進行驗證，主要貢獻如下：

1）明確了利用2 條二階Bezier 曲線對CIGS 薄膜光伏電池的I-V曲線進行擬合的思路，進一步探討了控制點位置對Bezier曲線形狀特點的影響效果；

2）構建了定端點弦截迭代算法的誤差分析基準，并分別實現了對CIGS 薄膜光伏電池超越方程中的未知參量和CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線的數值求解；

3）研究了2 條二階Bezier 曲線最優控制點位置與CIGS 薄膜光伏電池填充因子之間的函數關系，提出了一種CIGS 薄膜光伏電池I-V曲線擬合方法，該方法簡單準確且無需迭代等復雜數值計算，僅需廠商數據手冊提供的開路電壓、短路電流和最大功率點數據即可進行擬合。

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