高中數學數列問題教學中函數思想的應用探究

趙清軍

摘 要：數列是以自變量為正整數集的一類特殊函數，是高中數學中的重要內容。借助數列的函數特性解決數列問題在一定程度上簡化運算，同時也對數列的幾何意義有更深刻的認識。借助函數的定義、圖象、性質以及構造函數幾種途徑研究和解決數列問題，對于解決數列通項、數列最值等問題有重要作用。

關鍵詞：高中數學;函數思想;數列

數列是按照一定順序排列的一列數。數列是一種特殊的函數，定義在正整數集或其有限子集。由此可見，任何數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征。克萊因曾說：“函數是數學的靈魂。”函數思想是數學思想的重要組成之一，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的思維策略。數列一直以來都是高考的重點內容，而數列與函數的綜合應用是高考命題的重點和熱點。因此我們在解決數列問題時，應充分利用函數相關知識，通過其概念、圖象和性質，將數列與函數聯系起來，探究它們間的內在聯系，從而有效的簡化數列問題，最終解決問題。以函數的概念、圖象、性質為工具，揭示函數思想在數列問題中的應用技巧。

一、函數思想下的高中數學數列課堂現狀

（一）照本宣科

現階段，有些教師在課堂上帶領學生應用函數思想解決高中數學題時，大多都是毫無新意地對課本教材進行復刻，雖然課本知識都是正確的，但是機械地搬弄只會讓學生感覺到學習的枯燥乏味，很難提起興趣。對比教師給出的相關概念與定義，通常會使學生回憶起初中學到的函數知識，此時的學生難免會產生疑惑“為何與之前學過的函數定義存在不同？”假如教師不能在本節課及時給學生答疑解惑，那么便會對其日后的學習造成不良影響，只會讓學生更難以理解后續的課程。因此，以函數思想為指導的高中數學解題教學在具體開展過程中，首先需要教師對比初中函數概念進而引出高中階段需要學習的函數思想內容，帶領學生完成由已知到新知的過渡，及時消除學生疑慮。

（二）不顧學情，盲目授課

在廣大的教師隊伍中還有這樣一類教師，其年輕敬業，卻習慣性忽視學生的實際學情。這些教師在給兩個不同班級教學時，常常忽視每個班的學生在學習能力方面存在著較大差距，教師在給能力更強的班級授課時會迅速遞進相關知識點，一節課包含眾多知識點，然而等到課下批閱學生作業時卻發現學生很快就能接受所學知識，效果還不錯，就會認為這種教法是有效的。因此，到另一個班教學時，依然會套用相同的教學思路與方法。此時，這個班的學生學習起來就相當費力，眼下的知識點還沒搞清楚就要跟上教師步伐學習下一個知識點，一節課下來大多學生都是云里霧里的，完全不清楚這節課講了什么，最終導致能力較差的學生學習效果不佳。因此，在日常教學中，尤其是在講授函數概念性內容時，教師務必要重視分析學生實際學情，制定相適宜的教學計劃，以求給學生日后順利、高效學習打下堅實基礎。

（三）枯燥無味

還有一些教師講課時根本提不起學生興趣，給學生造成枯燥乏味的認知。主要是因為剛剛升入高中的學生還沒有完全適應眼下的學習生活，加之函數板塊的內容本就晦澀難懂，很多教師在課程剛開始時就單刀直入切進正題，缺少有效的鋪墊引導，所以很難激發學生興趣，導致教學效果不理想。因此，給學生講授函數模塊的內容時，需要教師融入新課程理念，鼓勵學生自主探究學習內容，主動獲取知識，掌握高效學習方法。教師可適時為學生創設相應教學情境，引導其嘗試親近數學概念、定理、公式、思想方法等，在此基礎上點燃其學習熱情，增強學習興趣，進一步打造高效課堂。最后，還有一個不容忽視的問題，就是教師自身的數學素養缺乏。存在這一問題的基本上都是剛剛走上教育工作崗位的青年教師，針對抽象且雜亂的函數思想內容，很多教師尚未形成清晰的教學思路，教學方案缺少邏輯性、連貫性，很難吸引學生注意力。

二、基于函數思想的數列解題應用研究

（一）函數思想解決數列問題一直是高考數學評估中的關鍵和難點問題。數列由有序數字組成，每個都可將其看作一個函數。函數思想與科學研究的獨立變量有關。兩者可以在一定條件下相互轉換，從而簡化了復雜的問題。因此，在學生解題的整個過程中，應探索題目內隱藏條件，深入地分析問題，并建立函數思想和數列間存在的聯系性、規律性。基于函數思想解決數列問題，有助于深化數列定義、等比、等差等知識銜接。數列問題求解，應抓住題目中的已知條件與利用函數的單調性與連續性等定義互相轉化，求得數列分布規律和通項公式，促使問題得到高效解決。此外，教師在課堂上應有目的地指導學生找到最佳解題方案，點燃數學學習熱情，發展學生的邏輯思維能力，幫助其掌握函數思想。保持靈活性，借助數學思想來解決實際問題，并提高學生的數學水平。最后，教師應重視訓練學生的數學思想應用能力，并在課堂上充分說明數學思想的重要性。

（二）借助函數定義簡化數列問題

數列的第n項，與序號n之間的關系可以用這個數列的通項公式來表示，即=f（n），也就是說，數列的通項公式是關于自變量n的表達式，即為一個函數。顯然可知，等差數列、等比數列的通項公式與前n項和均是關于n的函數，其定義域為正整數集或其有限子集{1，2，…，n}。所以我們在解決數列問題時，可以通過將其考慮為函數來簡化問題，借助函數的本質、意義對問題進行分析，從而簡化數列問題，使問題得以解決。

（三）巧用函數圖象簡化數列問題

函數圖象是直觀反映函數特征的工具，利用圖象解決數學問題，即數形結合，它是中學重要的數學思想方法之一，借助函數圖象能直觀有效的解決數列問題。將等差數列的通項公式改寫為，它是關于n的一次函數，其圖象是一條直線上的離散點集。因為等差數列的前n項和的公式改寫成，它是關于n的常數項為0的二次函數，其圖象為過原點的某拋物線上的離散點。在等比數列中，當公比q=1時，等比數列{an}是常數列，其對應的圖像是平行于橫坐標的一條直線上的離散點，等比數列前項和是關于的一次函數，其圖象是一條直線上的離散點;等比數列的通項公式，等比數列的前n項和Sn， ?（q≠1）即 （q≠1）均是關于n的指數類型的函數，其圖象是指數函數圖象上的離散點。所以在解決數列問題時，我們可以借助數列的通項公式或其前n項和呈現出來的函數圖象來分析問題，這樣往往會使問題簡單化，變得容易求解。

（四）活用函數性質簡化數列問題

函數性質是顯性反映函數特征的手段，在數列中，函數的諸多性質，如單調性、周期性等都有著較廣泛的應用。利用函數的單調性可以找出數列及數列前n項和的最值;求解通項公式中的參數;利用周期性可以將較遠項轉化為較近項，簡化。數列問題，從而達到較好的解題效果。

（五）構造函數簡化數列問題

構造函數是函數思想的重要體現，同時構造法在解決數列問題中起著至關重要的作用。對于既不是等差數列也不是等比數列的問題，往往需要通過函數變換構造新函數將其轉化為等差數列或等比數列，達到簡化問題的目的，從而使問題得以解決。在構造函數的過程中，往往需要一定的觀察、分析問題，進而得到數列的通項公式和前n項和公式的能力。

（六）在日常生活最優化問題中的應用

除了將函數思想應用到數列問題解決以外，函數思想還可應用于日常生活，這主要是因為數學思想在日常生活中有很強的應用性，在數學知識的學習中，引導學生積極將數學知識變化為生活經驗，深化理解函數知識，并增強學習能力。例如，進行課堂教學時，師生經常遇到以最小的成本獲得更大的經濟效益的問題，即最優化問題。基于函數思想，可以在已知數量和未知數量之間建立關系，進而形成正確函數關系式，隨后聯系函數關系的相關性質，順利解決問題，算出正確答案。學生的解題過程，同樣是其函數思想學習的過程，也是學生能力鍛煉的過程，通過教師的有效引導，對培養學生綜合應用能力有著積極作用。

三、結束語

綜上所述，數學中數列課程學習的核心內容就是解決數學問題，旨在解題過程中實現知識的有效運用，對于學生來說，是否可以迅速且正確進行解題，很大程度上要看學生的解題思路與技巧是否清晰，解題思想是否科學。然而，眼下學生進行數學解題時普遍深陷“題海”當中，走不出解題盲區，解題思想不清晰，解題思路不正確。在此背景下，作為數學思想中最重要的組成元素，函數思想的建立與運用非常有利于學生捋清解題思緒，提高解題效率。基于此，在高中數學教學中，還需教師引導學生對函數思想做出深入剖析，研究其本質，并實現有效運用，以便給數學學習提供不竭動力。

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