數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從三個方面培育學(xué)生思維的深刻性

孔德宇

【關(guān)鍵詞】思維的深刻性;概念教學(xué);知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);數(shù)學(xué)素材選用

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）71-0069-02

思維的深刻性是指思維活動的深度、 廣度和難度，以及思維活動的抽象程度和邏輯水平。培育思維的深刻性對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、形成數(shù)學(xué)思維具有至關(guān)重要的作用，也是落實學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑。因此，一線教師應(yīng)當將培育學(xué)生思維的深刻性滲透于日常教學(xué)活動中，讓數(shù)學(xué)教育為學(xué)生的終身發(fā)展奠定重要基礎(chǔ)。

一、重視概念教學(xué)，為思維深刻性的培育提供土壤

概念是數(shù)學(xué)的基石，數(shù)學(xué)思考的本質(zhì)是建立在數(shù)學(xué)概念上的思考，學(xué)生對概念的理解直接影響到其對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)方法的認識。因此，教師要讓學(xué)生在接觸每一個概念伊始，便感受到數(shù)學(xué)思考的魅力，使概念教學(xué)成為培育思維深刻性的土壤。筆者以蘇科版教材八年級下冊“11.2 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一課為例，探索“反比例函數(shù)的圖象”這一概念生成過程中“由數(shù)想形”的方法，談?wù)勅绾巫屗季S的深刻性在概念教學(xué)中得到發(fā)展。

“由數(shù)想形”就是通過分析反比例函數(shù)表達式，判斷函數(shù)圖象的特征。其本質(zhì)是將函數(shù)表達式中x、y的取值與坐標系中點的橫縱坐標分別對應(yīng)，滿足關(guān)系式的x、y的值（數(shù)）即對應(yīng)著點的坐標（形）。據(jù)此，我們可以依據(jù)x、y取值的特點來判斷函數(shù)圖象的特征。課堂上，教師可以以函數(shù)y = [6x]為例，進行“由數(shù)想形”的概念教學(xué)。根據(jù)分數(shù)的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生明確該函數(shù)表達式中x的取值不能為零，說明函數(shù)圖象上點的橫坐標不能為零。由此，學(xué)生可以得出該函數(shù)圖象與y軸沒有交點的結(jié)論，同理可得出該函數(shù)圖象與x軸沒有交點的結(jié)論。

教學(xué)時教師要注重學(xué)生的體驗，讓學(xué)生參與到思考和解題的過程中，從而一步一步、有淺及深地明確概念的含義，培育學(xué)生思維的深刻性。本例中“由數(shù)想形”的過程能幫助學(xué)生理解函數(shù)表達式與函數(shù)圖象之間的對應(yīng)關(guān)系，加深其對“數(shù)形結(jié)合”思想的理解。這就為學(xué)生后續(xù)研究新的函數(shù)的圖象及其特征提供了思路和參考，幫助學(xué)生建立起關(guān)于函數(shù)及其圖象的整體概念和解題思路。

二、重視構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，為思維深刻性的發(fā)展提供信息支撐

數(shù)學(xué)中思維的深刻性就是運用數(shù)學(xué)概念、定理等，借助邏輯推理的方式，獲得接近問題本質(zhì)的結(jié)論。在這個過程中，主體的知識結(jié)構(gòu)影響著邏輯推理的深度。因此，要發(fā)展學(xué)生思維的深刻性，需要重視構(gòu)建全面、系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生在面對新的問題時能夠從已有的知識網(wǎng)絡(luò)中迅速提取與之相關(guān)的信息。下面，筆者以一道常見的數(shù)學(xué)題為例，談?wù)勚R網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建及其對發(fā)展思維深刻性的重要作用。

如圖1，已知一次函數(shù)y=2x+4的圖象過點A（1，6），并與y軸相交于點B。若將該一次函數(shù)圖象繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線CD，求直線CD的函數(shù)表達式。

考慮到旋轉(zhuǎn)角是45°的特殊性，教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形所學(xué)知識，構(gòu)造等腰直角三角形來解決問題。在學(xué)生根據(jù)三角形性質(zhì)得出本題答案后，教師可以進一步提問：若直線繞點A旋轉(zhuǎn)30°或60°，可以求出旋轉(zhuǎn)后的直線解析式嗎？引導(dǎo)學(xué)生沿著這一路徑思考，最終可以發(fā)現(xiàn)：若將直線繞直線上（或直線外）的確定一點（已知坐標）旋轉(zhuǎn)任意角度α（0°<α<180°），只需要知道這個角的某一三角函數(shù)值，便可求出旋轉(zhuǎn)后直線的解析式。通過分析歸納，使直線在平面直角坐標系中繞點旋轉(zhuǎn)的問題一般化，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)提供更高階、立體的知識網(wǎng)。

該環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從特定的例題中歸納出解題的一般方法和思路，將特定情境下的問題推廣到一般情境，體現(xiàn)了對學(xué)生的思維深刻性的培養(yǎng)。所以，教師在構(gòu)建知識網(wǎng)時應(yīng)注重知識辨析，強化知識網(wǎng)中知識點之間的橫縱聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性的同時，為其深度思考提供必要的信息庫。

三、選擇恰當素材，讓思維的深刻性自然生長

在實際教學(xué)中，為了達到某種特定的教學(xué)效果，教師常根據(jù)實際需要編制合適的練習(xí)。為培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，在學(xué)生掌握勾股定理后，筆者編制如下問題：

如圖2，在網(wǎng)格圖中（每個小正方形的邊長為1個單位），線段AB經(jīng)過平移運動到A'B'的位置，給出下列說法：

①沿網(wǎng)格線平移，點A到點A'的最短路徑長為5;②在網(wǎng)格中任意平移，點B到點B'的最短路徑長為[13];③在AB平移到A'B'的過程中，線段AB掃過的最小面積為8。

其中完全正確的有? ? 。（填序號）

本題的本質(zhì)是線段平移問題，常見的解題思路都是將圖形沿網(wǎng)格線平移，這就導(dǎo)致學(xué)生形成思維定勢，認為網(wǎng)格背景中的平移只能沿網(wǎng)格線進行。因此，筆者在學(xué)生學(xué)完勾股定理后設(shè)計了這一問題，將點移動的路徑設(shè)置為“網(wǎng)格中任意平移”，抓住與固有思維之間的矛盾，引起認知沖突，使學(xué)生認識到只要“確定一對對應(yīng)點的平移方向與距離”即可完成題目。

其實教學(xué)中，教師還會遇到其他具體的問題，譬如針對幾何推理能力較弱的學(xué)生，可以選擇切入口寬、方法多、綜合性強的素材，引導(dǎo)學(xué)生對條件、結(jié)論進行深度分析;若學(xué)生對某一個或一類問題存在思維盲點時，可以選擇相近的有梯度的素材形成題組或小專題，促使學(xué)生打破思維定式，學(xué)會舉一反三。

（作者單位：江蘇省江陰市青陽初級中學(xué)）