融入MATLAB軟件的線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)探索

劉倩

設(shè)x為二維平面上第一象限中的一個(gè)單位方塊，其四個(gè)頂點(diǎn)分別為（0，0），（1，0），（1，1），（0，1），則

。再設(shè)A為二階方陣，分別令，則Aix=yi。其中y1的繪圖語(yǔ)句如下：

運(yùn)行程序即可以得到y(tǒng)i的值，同時(shí)得到圖1所示圖像。

對(duì)比第一幅變換之前的圖像（a），很容易發(fā)現(xiàn)矩陣A1使原圖對(duì)縱軸生成鏡像（b），矩陣A2使原圖在橫軸方向膨脹（c），矩陣A3使原圖在縱軸方向壓縮（d），矩陣A4使原圖向右方剪切變形（e），矩陣A5使原圖沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（f）。同時(shí)可以啟發(fā)學(xué)生通過(guò)計(jì)算矩陣Ai行列式的值，加深對(duì)行列式幾何意義的理解。

以往筆者在課堂上介紹矩陣的特征值概念時(shí)，會(huì)向?qū)W生說(shuō)明其幾何意義就是該變換在原圖形的特征向量方向上的放大量，或許會(huì)在黑板上畫(huà)上二維的平面示意圖予以解釋。在學(xué)習(xí)MATLAB軟件后，筆者了解到eigshow語(yǔ)句可以動(dòng)態(tài)演示矩陣的特征向量和特征值。設(shè)運(yùn)行eigshow（A），得到圖2所示演示窗口。其中綠色的x表示原坐標(biāo)系中的單位向量，用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住x并拖動(dòng)它圍繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，圖中同時(shí)出現(xiàn)以藍(lán)色表示的Ax向量。當(dāng)兩個(gè)向量處在同一條直線(xiàn)上時(shí)（包括正向和反向），就是相應(yīng)特征值的幾何表現(xiàn)。

以上兩例在課堂上給學(xué)生呈現(xiàn)的視覺(jué)效果是傳統(tǒng)黑板加粉筆無(wú)法比擬的，既可以加深學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的透徹理解，也可以大大激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣。

2）結(jié)合學(xué)生專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，引入實(shí)際問(wèn)題求解。工科學(xué)生的后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程中，電路、理論力學(xué)、材料力學(xué)、數(shù)值計(jì)算方法、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理、自動(dòng)控制原理、機(jī)械振動(dòng)、機(jī)器人學(xué)等十多門(mén)課程都需要用矩陣建模和解題。要滿(mǎn)足這些后續(xù)課程的要求，學(xué)生應(yīng)該會(huì)做不低于六階的復(fù)數(shù)矩陣運(yùn)算，解六元以上的代數(shù)方程組，會(huì)解六階三元以上的超定方程組。然而，現(xiàn)有的線(xiàn)性代數(shù)課程都解決不了這些問(wèn)題，唯一的方法就是引入計(jì)算機(jī)和軟件工具[3]。

筆者之前教的是交通工程專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，在課堂上不僅可以列舉相關(guān)專(zhuān)業(yè)實(shí)例，還可以通過(guò)MATLAB軟件輕松求解，比如下面這個(gè)關(guān)于交通流量分析的問(wèn)題：

某城市有兩組單行道，構(gòu)成一個(gè)包含四個(gè)節(jié)點(diǎn)A，B，C，D的十字路口。在交通繁忙時(shí)段，汽車(chē)從外部進(jìn)出此十字路口的流量（每小時(shí)的車(chē)流數(shù)）如圖3所示。現(xiàn)在要求計(jì)算每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)之間路段上的交通流量x1，x2，x3，x4。

假設(shè)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處流入量等于流出量，由此得到以下四個(gè)節(jié)點(diǎn)的流通方程：

節(jié)點(diǎn)A：x1+450=x2+610

節(jié)點(diǎn)B：x2+520=x3+480

節(jié)點(diǎn)C：x3+390=x4+600

節(jié)點(diǎn)D：x4+640=x1+310

整理得方程組形式：。

設(shè)在MATLAB軟件中直接調(diào)用，得到最簡(jiǎn)行階梯形矩陣。這個(gè)結(jié)果說(shuō)明x4為自由變量，方程解不唯一。如果要準(zhǔn)確了解交通流量情況，還應(yīng)該再給出其他信息。

3 實(shí)踐小結(jié)與不足

通過(guò)教學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)，看到將MATLAB軟件引入線(xiàn)性代數(shù)課堂教學(xué)能夠豐富課堂內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，開(kāi)闊學(xué)生視野，從而有效解決學(xué)生學(xué)而不知用的困惑。但目前的教學(xué)改革還存在不足之處需要解決：

1）限于學(xué)時(shí)，沒(méi)有安排學(xué)生集中上機(jī)學(xué)習(xí)的時(shí)間，只聽(tīng)不練會(huì)讓學(xué)習(xí)效果打折扣;

2）后期要通過(guò)考試的杠桿作用讓學(xué)生主動(dòng)去學(xué)習(xí)和掌握必要的MATLAB技能;

3）教師要提高使用數(shù)學(xué)軟件的能力。

參考文獻(xiàn)

[1]陳懷琛，楊威.工科線(xiàn)性代數(shù)必需的三項(xiàng)改革：介紹《實(shí)用大眾線(xiàn)性代數(shù)（MATLAB版）》教材及其慕課[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展，2018（9）：1159-1165.

[2]陳懷琛，高淑萍.論非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)線(xiàn)性代數(shù)的內(nèi)容改革[J].高等數(shù)學(xué)研究，2015（2）：8-11.

[3]陳懷琛，高淑萍，楊威.科學(xué)計(jì)算能力的培養(yǎng)與線(xiàn)性代數(shù)改革[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009（12）：23-25，52.