小電容應用下的三角形聯結級聯H 橋STATCOM建模和最優控制器設計*

王恒宜 汪 飛

(上海大學機電工程與自動化學院 上海 200244)

1 引言

多電平變換器在諸如柔性交流輸電系統、高壓直流輸電等中高壓大容量場合發揮著越來越重要的作用[1]。靜止同步補償器(Static synchronous compensator, STATCOM)是多電平變換器的典型應用之一，三角形聯結級聯H 橋STATCOM 是中高壓無功補償和諧波抑制的先進技術[2]。三角形聯結級聯H 橋STATCOM 適用于中高壓應用場合，可省去多重化變壓器，其級聯H 橋方式容易模塊化，能夠通過冗余模塊實現較高的容錯性，比起傳統的中點鉗位和飛跨電容STATCOM，不需要大量的鉗位二極管和鉗位電容，更容易擴展電平數，比起模塊化多電平STATCOM 功率密度更大，比起星形聯結級聯H 橋STATCOM 負序無功補償能力更強[3-4]。

三角形聯結級聯H 橋STATCOM 直流側電容需要承擔功率波動，多選用大容值薄膜電容。薄膜電容具有良好的電工特性和高可靠性，然而薄膜電容功率密度低、造價高[5-6]，造成STATCOM 裝置占地面積大、建造成本高，為了減小STATCOM 裝置的體積和成本，適宜采用較小容值的薄膜電容[7]。小容值電容的使用會導致直流側電容電壓波動變大，直流側電容電壓所含諧波不能像大電容STATCOM那樣被忽略，因此小電容STATCOM 的建模和控制應當區別于大電容STATCOM。

從建模方面來說，傳統STATCOM 廣泛使用dq坐標系下的數學模型[8]，在這個模型里，各變量是不變的。時不變模型易于進行控制器設計。小電容應用下的三角形聯結級聯H 橋STATCOM 電容電壓的波動較大，不能像大電容STATCOM 那樣，電容電壓被近似為一個常數，電容電壓和調制信號的耦合不能被近似為電容電壓直流分量和調制信號的耦合，因而難以建立dq坐標系下的時不變數學模型。

從控制方面來說，三角形聯結級聯 H 橋STATCOM 廣泛使用級聯PI(D)控制器，即外環控制電容電壓直流分量，內環控制電流[9-11]。然而在小電容應用下，系統里存在的復雜耦合增加了PI(D)控制器設計的難度。此外，PI(D)控制器的缺點在于難以預測的收斂度、不能完全利用系統的自由度等。

所以，本文針對小電容應用下的三角形聯結級聯H 橋STATCOM 建立了以STATCOM 三相支路電流和三相支路電容電壓為狀態變量、三相調制信號為控制輸入的abc坐標系下的多變量狀態空間模型，提出了一種系統性的處理多變量的控制器，即基于有限時域LQR[12]的多變量最優控制方法來對三角形聯結級聯H 橋STATCOM 的支路電流和支路電容電壓進行最優控制。

本文首先對小電容應用下的三角形聯結級聯H橋STATCOM 的各電流和電容電壓進行了分析，給出了abc坐標系下的多變量狀態空間描述，然后提出了針對多變量系統的有限時域LQR 方法來對小電容STATCOM 中的電流和電容電壓變量進行精確控制。最后，通過建立仿真模型驗證了本文提出的建模方法和控制器設計。

2 小電容應用下的三角形聯結級聯H 橋STATCOM 的分析

如圖1 所示，Rs和Ls為電網等效阻抗；isa、isb、isc分別為網側三相電流；iLa、iLb、iLc分別為負載三相電流；vsa、vsb、vsc分別為公共連接點(Point of common coupling，PCC)的電壓；ia、ib、ic分別為STATCOM 三相端口電流；r和L為STATCOM 每個支路的等效阻抗；iab、ibc、ica分別為三相支路電流；i0為環路電流；C為子模塊(Submodule, SM)直流側電容的容值；每個支路的子模塊數為N；每個子模塊為單相H 橋電路；uab、ubc、uca為支路輸出電壓。

圖1 基于三角形聯結級聯H 橋多電平變換器的靜止同步補償器在電網中的典型應用圖

2.1 電流分析

如圖 1 所示，根據基爾霍夫電流定律，STATCOM 支路電流iab、ibc、ica，端口電流ia、ib、ic和環路電流i0滿足以下關系式

此外，為了子模塊的電容電壓不漂移，在穩態時每個支路的有功功率直流分量必須為0，如式(2)所示

2.2 電容電壓分析

不同于傳統的大電容 STATCOM，小電容STATCOM 的電容電壓波動較大，因而在分析、建模等過程中不能被忽略。支路上電容存貯的能量的導數為有功功率，即

3 STATCOM 狀態空間模型

圖2 支路上所有子模塊等效為可控電壓源

選取支路電流iab、ibc、ica以及支路電容電壓uCab、uCbc、uCca為系統的狀態變量，調制信號mab、mbc、mca為控制輸入，三角形聯結級聯 H 橋STATCOM 在abc坐標系下的狀態空間方程為

從式(6)可以看出，系統模型具有以下特點。

(1) 由于STATCOM 使用的是小電容，電容電壓紋波較大，不能被忽略，在以支路電流為狀態變量的微分方程中存在著電容電壓諧波和調制信號的耦合。

(2) 在以電容電壓為狀態變量的微分方程中，存在調制信號和支路電流的耦合。

也就是說，在小電容應用下的STATCOM 模型里，系統矩陣A(u)和B(x)是時變的，正因為A(u)和B(x)的時變性、A(u)和時變狀態變量x的耦合、以及B(x)和時變控制輸入u的耦合，導致難以對式(6)進行dq變換得到時不變模型。

到目前為止，三角形級聯H 橋STATCOM 大多采用雙閉環比例積分控制，其需要以支路電流的dq時不變模型和電容電壓直流分量模型為基礎。然而由前面已經分析得知，小電容STATCOM 時變變量之間的耦合導致難以得到時不變模型，因而本文將直接針對式(6)描述的模型設計有限時域LQR 控制器。

4 有限時域LQR 控制器

通過分析式(6)的狀態空間方程發現，abc坐標下的STATCOM 模型是涉及狀態變量和控制輸入耦合的多變量系統，令

對rank(C)的分析發現，當A(u) 矩陣里mab、mbc、mca，也就是系統在mab、mbc、mca過零點處rank(C)小于6，不能采用無限時域LQR 控制器，因為無限時域LQR 控制器要求在整個時域內系統可控。一套可行的方案是對系統進行有限時域LQR 控制器設計。

4.1 系統離散化操作

可用期望狀態變量和控制輸入代入，即用A(u*)和B(x*)分別替代式(6)中A(u)和B(x)，式(6)則變成以下表達式

式中，I為單位矩陣。

4.2 有限時域LQR 控制器的設計

控制多變量周期系統的有限時域LQR 理論可以簡述如下：對于一個離散周期系統，定義一個周期性的增益矩陣Kk和狀態變量Δxk相乘得到的反饋控制律Δku，即

有兩種方法可以求解式(12)相應的最優化問題，一種是批處理方法(Batch approach)，這種方法是把優化問題式(12)轉換成一個最小二乘問題，這種方法需要重復求解大矩陣的逆，工程實踐中難以實現。另外一種方法是動態編程(Dynamic programming)的遞歸方法，動態編程方法比批處理方法更加有效，不需要求解大矩陣的逆。利用動態編程的方法需要求解黎卡迪方程

三角形聯結級聯H 橋STATCOM 反饋控制環如圖3 所示，Kk即為通過有限時域LQR 控制算法得到的增益矩陣。相移PWM 和排序算法相結合可以保證電容電壓均衡，具體的均衡策略將在第5 節進行詳細描述。

圖3 三角形聯結級聯H 橋STATCOM 反饋控制環

5 電容電壓均衡策略

模塊化多電平變換器電容均壓控制大多采用以下兩種方法[17-18]：一種是利用比例積分環節控制子模塊的均壓算法，該方法均壓效果好，且實現簡單，但子模塊數量較多時，會導致控制過于復雜；另一種是將變換器的其中一個支路子模塊電容電壓進行排序控制的均壓算法，考慮當前支路電流對電容的充放電影響，保證電容電壓相互平衡且動態穩定。

本文則采用了第二種均壓方法，其工作流程如圖4 所示。控制與監測系統需要不斷地檢測同一個支路內的各子模塊電容電壓和支路電流，然后通過對子模塊電容電壓進行排序，最后根據支路電流的方向有選擇性地投入或切換相應的子模塊。

圖4 基于相移PWM 和排序算法的電壓均衡策略流程圖

6 仿真結果

通過在Matlab/Simulink中建立三角形聯結級聯H 橋STATCOM 系統和有限時域LQR 控制器來驗證本文提出的數學模型和控制器性能。仿真系統的參數如表1 所示。

表1 仿真系統參數設定

整個系統的框圖如圖5 所示，根據檢測到的PCC 電壓和負載電流，計算出期望電流和期望電容電壓，再經過有限時域LQR 控制器得到調制信號。相移PWM 和排序算法相結合可以保持支路內部每個子模塊的電容電壓平衡。

本文裝置不僅可以用于無功補償，還可以用于抑制低次諧波(一般為小于19 次的諧波)[19-20]。它可以作為輔助裝置，通過濾除一些特定的諧波來輔助電力系統中的無源濾波裝置，從而增強整個系統的諧波抑制功能；也作為一個冗余裝置，當系統中的無源濾波器發生故障，暫時替代無源濾波器進行工作。因此接下來的仿真將同時體現本文裝置的無功補償和諧波抑制功能。

本文的仿真試驗分為三種情況。

(1) 正常的PCC 電壓，仿真結果如圖6 所示。

圖6 當電網電壓正常時候的仿真波形

(2) PCC 電壓含有不平衡，即a相PCC 電壓幅值為其他兩相電壓幅值的25%，仿真結果如圖7所示。

圖7 當電網電壓不平衡時候的仿真波形

(3) PCC 電壓既含有不平衡又含有諧波，即a相PCC 電壓對地短路，并且b相和c相電壓含有5次和7 次諧波，總諧波畸變為17.7%，仿真結果如圖8 所示。

圖8 當電網電壓含不平衡和諧波時候的仿真波形

以上三種情況下的仿真試驗中皆設定檢測到的非線性負載電流(kA)為

仿真試驗中，支路電容電壓的初始值設為40 kV。期望支路電容電壓的直流分量為62 kV，電容電壓波動約為 ±25%。在t=0.02 s，STATCOM 連接入電網，并且有限時域LQR 控制器開始工作。圖6～8皆由五個子圖組成，從上到下波形分別為三相PCC電壓vsj，(j=a,b,c)、三相電網電流isj、三相支路電流iij，(ij=ab,bc,ca)、環路電流i0和三相支路電容電壓uCij。

圖6 是PCC 電壓在正常情況下的仿真結果。可以看出，在0～0.02 s 期間由于STATCOM 并未接入電網，電網電流即為負載電流，含有明顯失真。在t=0.02 s 接入STATCOM，在有限時域LQR 控制器作用下系統能夠在極短的時間內進入穩態，網側電流沒有諧波也沒有不平衡；PCC 電壓以及負載電流都不含不平衡，系統不需要補償負序無功功率，環路電流為零。電容電壓穩態時直流分量穩定在62 kV，電容電壓波動較大。可見各電流和電容電壓跟隨性好，控制器的優良效果得到了驗證。

圖7 是PCC 電壓含有不平衡時候的仿真結果。三相PCC 電壓如圖7 最上方子圖。可以看出，在t=0.02 s 接入STATCOM 后，系統能夠在極短的時間內進入穩態，電網電流只含有正序基波分量。由于PCC 電壓含有不平衡，所以環路電流不為零。各電流和電容電壓得到了很好的控制，控制器的優良效果也得到了驗證。

圖8 是PCC 電壓含有不平衡和諧波時候的仿真結果。同樣可以看出，在接入STATCOM 后，系統能夠在極短的時間內進入穩態，這種情況下STATCOM 需要補償負序無功功率，環路電流也不為零。盡管電容電壓的波動較大，其直流分量穩定在62 kV。各電流和電容電壓跟隨性好，驗證了LQR控制器的優良效果。

7 結論

本文對小電容應用下的三角形聯結級聯H 橋STATCOM 進行了分析，指出了和大電容STATCOM 之間的區別，得到了其在abc坐標系下的狀態空間方程，進而給出了針對小電容應用下的三角形聯結級聯H 橋STATCOM 的有限時域LQR控制器的設計步驟。最后，通過建立仿真模型對所建模的小電容STATCOM 及其LQR 控制器的功能和表現進行了驗證和分析。本文提出的建模方法和控制器設計具有很強的通用性，可以被應用到其他的多電平變換器拓撲和電力電子系統中，尤其是需要考量電容電壓波動的場合。