數形結合思想下的數學深度學習

江蘇省南京市漢口路小學 屠吉遷

近年來，教育研究者愈發關注“學生的學”。立足學生，可以回歸教學的本質，找到課堂教學的內在邏輯，從而實現深度學習。可是很多教師卻在組織學生研究數量關系和空間形式這一數學問題的時候忽視了對學生學習的關注。

小學階段的學生還沒有形成較完善的抽象思維，絕大多數還停留在直觀的形象思維階段。數形結合的思想無疑可以在他們的抽象思維和形象思維之間架起一座橋梁，讓數學的學習真正發生。

一、以數定形，讓空間關系更明晰

數在圖形上發揮的最普遍的作用便是它規定了一個圖形的形狀。“世界上沒有兩片完全相同的樹葉”，證明這句話最有力的方法便是對樹葉進行全面的測量，包括樹葉的周長、各部分比例等等。在數學課堂上，我們常常是由數與直觀物體之間的一一對應關系，明晰了物體的多少。當你無法看出兩群羊中到底哪群羊規模更龐大的時候，你一定會用數一數的方法找到答案。著名的繆勒—萊爾錯覺提出：末端加上向外的兩條斜線的線段比末端加上向內的兩條斜線的線段看起來長一些（如圖1）。其實通過測量可以發現，這兩條線段的長度是一樣的,數據在這里以其嚴密性確定了圖形之間的關系。如果單獨給出一個沒標數據的長方形，也許學生很難直接判斷出這個長方形的長和寬之間存在著什么樣的數量關系，但如果告知該長方形的長是6厘米，寬是4厘米，那么便可以迅速確定長是寬的1.5倍（如圖2）。

圖1

圖2

這些數據，讓我們眼里的圖形不再單純的是一片樹葉，也不再單純的是一個長方形。由于我們對數據進行了分析，便明白了一片樹葉的獨特，也搞清楚了長方形的長寬比例。數量對圖形的作用就在于讓圖形的空間形式變得更具體。

二、以形輔數，讓運算律的學習具有深度

運算律作為數量關系的一種表現形式，對其的理解和掌握對于處于形象思維的小學生來說是具有挑戰的。

以《乘法分配律》一課為例。觀察本節課的主題圖，學生一般都能完整描述題目：每個班領24根跳繩，四年級6個班和五年級4個班一共要領多少根跳繩？之后，學生在解決問題的過程中，形成了兩種不同的方法，這兩種方法的算式可根據相同的結果用等號聯系起來，即：（6＋4）×24＝6×24＋4×24。為了讓學生能發現乘法分配律的核心，教師通常會直接讓學生尋找左右兩邊算式的聯系。

觀察發現，雖然學生可以通過模仿寫出類似的等式，但是當單獨給出左邊的算式時，有一部分學生不會將算式展開。同樣，也有一部分學生不會將右邊的算式合并。那么在用字母總結規律的時候，有相當一部分學生其實還是停留在模仿層面上，對乘法分配律的實質是一知半解的。常見的錯誤主要有：（42＋35）×2＝42＋（35×2），27×12＋43×12＝（27＋12）×43，40×50＋50×90＝40×（50＋90）。這樣的錯誤距離學生達到深度學習還遠遠不夠。如果讓學生僅僅經歷從“數”到“數”，從“算”到“算”的乘法分配律的建構過程，那么學生對乘法分配律的理解就會停留在識記與模仿層面上，這樣既給學生帶來記憶負擔，又導致學生將各種運算律混淆使用。

針對四年級學生處于形象思維的特點，筆者對課本這部分內容進行了改編，并利用“四色學習單”進行幾何直觀建模。“四色學習單”的具體內容如下：

本張“四色學習單”在活動要求上充分關注學生的“學”，將探究任務分為四個層次，由淺入深地挖掘本節課知識的內涵，有效地幫助學生建立起形象的乘法分配律的模型，弱化其他運算律對它的干擾。下面筆者結合以上“四色學習單”的活動要求，具體來探討如何借助幾何直觀突破本節課的重難點。

1.借助幾何直觀，感知模型

首先對本節課的例題進行改編，通過生活實例幫助學生建立數學模型。題目具體為：有一塊長方形的花圃，長8米，寬6米。在修建時，花圃的長增加了3米，現在這個花圃的面積是多少平方米？

在出示題目以后，教師先引導學生想象花圃修建時所形成的幾何圖形。實踐表明，多數學生能用畫圖的方法整理出題目條件。學生在根據圖形解決問題的同時，能感受到“式”與“形”的結合，與乘法分配律緊密聯系的幾何模型也初步建立了起來。

2.借助幾何直觀，抽象模型

雖然借助幾何直觀，學生對算式與圖形之間的聯系能有初步的感知，但此時不必急于揭示它們之間的聯系。學生對乘法分配律的總結需要經歷探索的過程，需要在這個過程積累經驗，從而不斷加深對數形結合的感悟。可是僅憑題目這一種情況是無法完成幾何直觀對乘法分配律模型的有效建構的，還需要進一步對例題進行改動。

這時，可以將題目條件“長增加了3米”改成“長增加了（ ）米”，還是要求學生求花圃改建后的面積是多少平方米。相對于原題而言，修改后的題目開放了許多。學生可以依據已有的畫圖策略的經驗，通過圖形整理出題目條件（如圖3）。當括號里填寫不同的數據的時候，所求的面積大小也就不同，列出的等式也不一樣。有了這種拓展練習的嘗試，教師可以進一步對原題再進行改動（如圖4）。

圖3

圖4

在這個教學環節中，學生通過對數據的拓展，可以得到不同的等式；通過對等式和圖形的整體觀察，能自主發現乘法分配律與長方形幾何模型之間的緊密關聯；通過反復的體驗可以進一步感受到乘法分配律的數學模型的普遍性。

3.借助幾何直觀，逆用模型

教師可以先出示算式（12＋6）×8，提問：“你能想到什么圖形嗎？”實踐觀察發現，學生思考過后會回答：“這是一個長是12＋6，寬是8的長方形。”還有學生補充：“還可以看成長12、寬8和長8、寬6的長方形的和。”接著，教師出示21×5＋8×5這道算式，讓學生描述這又是什么樣子的圖形。這種“逼”學生嘗試建立圖形模型的過程，也是將學生的數學認知從具體經驗向理性層面提升的過程，為今后靈活地運用乘法分配律打下了扎實的基礎。

觀察發現，有了以上三個環節的探究，學生做題的速度與準確率大幅度提高。學生借助幾何直觀探究了抽象的運算律，在數學建模中進行了深度學習。

三、數形相融，促進學生思維發展

數與形是相輔相成的，離開了哪一方面學數學都會導致學生習得的知識過于表面化，學生便無法深入觸及知識的本質，從而讓學習失去了深度。只有進行深度學習，學生的思維才能真正得到發展。

圖5

其實學生在探索過程中，在算式和圖形之間建立的這種一一對應的關系就是數形相融的過程。既依靠數據理清了圖形各部分之間的關系，也依靠圖形總結出簡便計算的方法。這樣的學習并不是單純地停留在熟記計算方法的表層學習，而是看到算式腦海里便會出現相應的圖形，看到圖形便能根據圖形的分割寫出相應的算式的深度學習。數與形緊密結合促進了抽象思維與形象思維的結合，這是一種思維能力提升的方式。

數形結合將數與形連接起來，讓數學學習具有深度。因而教師要引導學生養成結合圖形思考問題的習慣，讓學生學會用數形結合的思想解決數學問題，將形象思維和抽象思維通過數形結合架起的橋梁緊密地聯系起來。只有這樣，學生才能獲得數學思維的高階發展。