參數控制多渦卷超混沌吸引子及其應用*

楊永明，陳世強，李 強

(1.湖北民族大學新材料與機電工程學院，湖北 恩施 445000；2.湖北民族大學新材料成型及裝備技術產學研中心，湖北 恩施 445000)

1 引言

混沌因其具有確定性、類隨機性、對初值的敏感性等特點而廣泛應用于工程領域[1-5]。動力學行為豐富的混沌系統應用于加密領域時，安全性更高[6，7]。

超混沌具有比混沌更豐富的動力學行為，在圖像加密、保密通信等領域具有相當的應用潛力[8-10]。構造超混沌的常用方法是[11-17]：改進一個混沌系統使其變成超混沌系統；改進一個超混沌系統使其成為另一個超混沌系統；直接構造新的超混沌系統。文獻[11]通過改進經典Lü系統并引入憶阻元件，提出了一種基于憶阻的改進型超混沌Lü系統，其特點是不存在任何平衡點。文獻[12]利用Cat映射的Lyapunov指數與相關Cat矩陣之間的內在聯系提出了一種簡單而有效的構造超混沌的方法，該方法可構造具有任意個正Lyapunov指數的超混沌。文獻[13]提出了一種新的具有多動態特性的四維超混沌系統，系統具有平衡線或不穩定的平衡點，通過改變系統參數可以改變其特性。文獻[14]構造了一種簡單的四維超混沌混沌系統，系統只有一個穩定的平衡點，能表現出包括混沌，周期性，穩定性以及各種吸引子共存的各種動態行為。文獻[15]基于三維廣義Lorenz系統開發了一種無平衡點超混沌系統，并在新系統的基礎上構造了一個沒有平衡點復雜超混沌系統，兩個新系統都具有隱藏吸引子，且能呈現各種動態行為。文獻[16]提出一種基于肖克利二極管模型、且具有雙曲正弦非線性的四維連續時間自治超混沌系統，系統可經歷周期態、準周期態、混沌態及超混沌態，具有豐富的動力學行為。文獻[17]在原系統的基礎上，受“平行宇宙理論”的啟發，通過引入三角函數構造了一種具有復雜動態行為的四維自治超混沌系統，系統具體無限平衡點，與原始系統相比，系統對初始值更敏感。

此外，增加吸引子渦卷數量也能豐富混沌系統的動力學行為[18-21]。目前，一類常用的方法是利用函數序列生成多渦卷吸引子，如采用飽和函數序列、雙曲正切函數序列、非線性調制函數序列、閾值函數序列等[6]。文獻[22]最早提出了變參數變渦卷的方法，在不改變函數的情況下，通過改變系統參數就可以改變渦卷數量，但該文獻提出的只是三維混沌系統，其動力學行為還可以進一步豐富。

本文構造了一種四維多渦卷超混沌系統，在不改變分段線性函數的情況下，通過修改系統參數可實現渦卷數量的改變。相對于文獻[11]-[17]，本文系統具有更多的渦卷數量，動力學行為更豐富。相對于文獻[22]，本文系統具備更多維度，動力學特性更復雜。分析結果表明，本文系統用于圖像加密時安全性高。

2 多渦卷超混沌吸引子

文獻[22]提出的基于Chua系統的參數控制多渦卷混沌吸引子描述為

(1)

其中，a、b、c、d、g為控制參數，x、y、z為狀態變量，且均為實常數，f(x)描述為

f(x)=sgn(x)+sgn(x+b)+sgn(x-b)+

sgn(x+2b)+sgn(x-2b)

(2)

本文在系統(1)的基礎上，增加狀態反饋控制器w，同時增加控制參數h、m、n。為避免計算過程中的奇點，用tanh(100x)函數替換sgn(x)函數[22]。改進后的系統為

(3)

其中F(x)描述為

F(x)=tanh(100x)+ tanh(100(x+b))

+ tanh(100(x-b))+ tanh(100(x+2b))

+ tanh(100(x-2b))

(4)

保持參數b=7不變，即函數F(x)不變，改變其它系統參數時，可得到不同渦卷數量的混沌。表1中給出了渦卷數量與對應的系統參數以及用各組參數計算出的李氏指數，各組參數對應的x-y相圖如圖1所示，其中計算李氏指數和畫相圖時所選初始值IC=(1，1，1，1)。表中各組參數所對應的四個李氏指數均為(+，+，0，-)的形式，說明各組參數下的系統均為超混沌系統。

表1 不同渦卷數量對應的系統參數及李氏指數

圖1 不同數量渦卷對應的x-y相圖

3 系統動力學分析

3.1 對稱性與耗散性

從系統方程(3)中不難發現，系統不具備對稱性。而根據系統(3)，可得

(5)

3.2 平衡點分析

令方程(3)右邊等于零，即

(6)

分別代入表中產生2渦卷至6渦卷對應的參數，可以計算出對應的平衡點及特征值。例如，產生2渦卷時有4個平衡點，分別為S1=[-31.07，-4.29，26.78，-267.82]，S2=[-6.24，-0.84，5.4，-54.02]，S3=[6.17，0.89，-5.29，52.87]，S4=[31，4.33，-26.67，266.67]，4個平衡點對應的特征值均為λ1=-4.7516，λ2=0.0642，λ3，4=0.0937±4.7764i，λ1為負實數，λ3，4的實部為正，因此這4個平衡點為不穩定的鞍焦點；再如，產生5渦卷時有3個平衡點，分別為S1=[-28.46，-4.09，24.37，121.85]，S2=[-3.01，-0.46，2.55，12.76]，S3=[35.17，5.00，-30.18，-150.88]，3個平衡點對應的特征值均為λ1=-4.0219，λ2=0.0631，λ3，4=0.1794±3.1180i，λ1為負實數，λ3，4的實部為正，因此這3個平衡點均為不穩定的鞍焦點。

對于產生2渦卷時的這組參數，進一步研究發現，當初始值IC=(1，1，1，1)時，利用該組參數可生成2渦卷吸引子，而當初始值IC=(0，0，0，0)時，利用該組參數可生成4渦卷吸引子，如圖2所示。說明系統具有多穩態共存的特性[23]。

圖2 初始值IC=(0，0，0，0)時的x-y相圖

對于產生5渦卷時的這組參數，系統生成了5渦卷吸引子，但該組參數對應的平衡點只有3個，說明系統處于隱藏振蕩狀態，生成了隱藏吸引子[24]。

3.3 李氏指數譜

利用表1中生成2渦卷吸引子的參數，并令d在20至70之間變化，可得到系統隨參數d變化的李氏指數譜，如圖3所示，計算時初始值IC=(1，1，1，1)。從圖3中可以看出，當d∈[20，22.8]時，四個李氏指數的形式為(+，0，-，-)，說明系統處于混沌狀態，當d∈[22.9，35]時，李氏指數的形式為(+，+，0，-)，說明系統處于超混沌狀態，d∈[52.4，53]時，李氏指數的形式為(0，0，-，-)，說明系統處于準周期狀態，d∈[64，70]時，李氏指數的形式為(0，-，-，-)，說明系統處于周期狀態。可見，當參數d在20至70之間變化時，系統經歷了周期態、準周期態、混沌態及超混沌態，表現出復雜的動力學行為。

圖3 系統隨參數d變化的李氏指數譜

4 系統電路實現

為了驗證系統(3)在工程應用中的可行性，以5渦卷系統為例，采用OrCAD PSpice軟件設計了系統的電路，如圖4所示，仿真結果的x-y相圖如圖5所示。觀察實驗結果可發現電路仿真與數值仿真結果是一致的，從而驗證了本文提出的超混沌模型在物理上是可以實現的。

圖4 系統仿真電路

圖5 電路仿真x-y相圖

電路中運算放大器采用LF412，其供電電壓為±12VDC，為避免輸出失真，將狀態變量按式(7)作線性變換，變換后的系統為(8)，F(x)為(9)，電路的狀態空間方程為(10)。組成F(x)的五個符號函數中，每個tanh(100x)函數由兩個運算放大器及其外圍元器件實現，如U10B、U1A、R1、R4、R7、R10、V1組成了tanh(100(x-1.4))，U10B的輸出經R4、R7分壓后由跟隨器輸出。當供電電壓為±12VDC時，LF412的輸出電壓范圍為-11.3V至+11.3V，為使U1A輸出為+1V或-1V，需要滿足R4:R7=10.3:1，由此可確定R4、R7的阻值。根據以上分析可確定所有元件參數，如表2所示。

表2 元件參數

(x，y，z，w)→(10x，y，10z，10w)

(7)

(8)

F(x)=tanh(100x)+ tanh(100(x+0.7))

+ tanh(100(x-0.7))+ tanh(100(x+1.4))

+ tanh(100(x-1.4)

(9)

(10)

5 參數控制多渦卷超混沌吸引子在圖像加密中的應用

混沌系統因具有初值敏感性、類隨機性和不可預測性常用于圖像加密，本文將提出的參數控制多渦卷超混沌系統也用于了圖像加密，并取得了良好的加密效果。

5.1 加密及解密原理

對于給定的灰度圖像，首先對圖像中每個點的像素值進行替換，且偶數位置的點和奇數位置的點分別基于X相和Y相混沌序列進行像素值替換，之后基于Z相混沌序列對像素位置置亂，加密流程如圖6所示，加密步驟如下。解密過程是加密過程的逆過程。

圖6 加密流程

Step1：輸入明文圖像A，像素大小為M×N，令L=M×N。

Step2：用初始值(密匙)[x0，y0，z0，w0]求解微分方程，取其中長度為L的四組混沌序列C[X，Y，Z，W]。

Step3：按公式求取像素值加密序列K

(11)

Step4：將K轉換成M×N的矩陣，將該矩陣中的每一個元素與矩陣A中的每一個元素進行按位異或運算得到圖像A1。

Step5：對Z組中的所有元素分別進行放大1015倍、向負無窮方向取整、對L取模運算，再對元素進行升序排序，將排序得到的位置向量G作為像素位置置亂向量。

Step6：將A1轉換成一維行向量P，按公式將圖像中的像素進行置換得到P1，將P1轉換成M×N的矩陣得到加密后的圖像A2。

P1(i)=P(G(i))，1≤i≤L

(12)

5.2 實驗結果

實驗以經典的lena灰度圖像為例，其像素值為512×512，采用本文算法對圖像進行加密及解密，算法中采用的混沌系統為系統(8)，混沌初始值(密匙)Key1=[0.2 0.5 0.3 0.1]，圖7為原圖、加密圖像及解密圖像的對比。從圖7中可以看出，加密圖像雜亂無章，完全失去原圖信息，而解密圖像與原圖完全一致，說明算法能正確實現圖像的加密及解密。

圖7 圖像加密與解密結果

5.3 密匙敏感性分析

密文圖像的變化率(The change rate of cipher text，CRC)可以反映密匙的加密敏感程度。用正確密匙Key1=[0.2，0.5，0.3，0.1]對lena原圖進行加密得到密文圖像A1，如圖8(b)，用錯誤密匙Key2=[0.200000000001，0.5，0.3，0.1]對lena原圖進行加密得到密文圖像A2，如圖8(c)，計算得A1和A2的圖像變化率為99.61%。圖8(a)為原圖，圖8(d)為用Key1對A1進行解密的結果，圖8(e)為用Key2對A1進行解密的結果。說明即使密匙發生微小變化時，密文圖像變化率也能接近100%，而用錯誤密匙得到的解密圖像與原圖的關聯性也無法看出，說明算法對密匙極為敏感。

圖8 密匙敏感性測試結果

5.4 直方圖分析

直方圖可以反應圖像像素值分布是否均勻，密文圖像直方圖越平坦則像素值分布越均勻，抵御灰度統計分析攻擊的能力也越強。圖9(a)示為lena原圖直方圖，圖9(b)為lena密文圖像直方圖，對比可發現，密文圖像直方圖的灰度均勻性明顯優于原文圖像，具有良好的抵御灰度統計分析攻擊的能力。

圖9 直方圖分析結果

5.5 相關性分析

一副正常的數字圖像中，相鄰的兩個像素點的灰度值是很接近的，圖像的相關系數可達0.9，經過加密后的圖像中，相鄰的兩個像素點的灰度值不應具有明顯相關性，相關系數越接近0說明加密效果越好。在lena原圖中隨機取1000個點，利用文獻[25]中的公式計算得其水平、垂直和對角線方向的相關性分別為0.9733、0.9870、0.9603，在lena加密圖像中隨機取1000個點，計算得其水平、垂直和對角線方向的相關性分別為0.0153、0.0034、0.0101，說明原圖的相關性極強，加密后的相關性極弱。這表明原始圖像的統計特征已經被擴散到密文圖像中。

5.6 信息熵分析

信息熵反應了圖像灰度值分布是否均勻，灰度值分布越均勻信息熵越大，其理論值是8。計算得lena原圖的信息熵為7.4455，lena加密圖像的信息熵為7.9992，接近理論值8，說明圖像像素值分布很均勻，加密效果良好。

5.7 抗攻擊能力分析

為測試算法的抗攻擊能力，對加密圖像進行了剪切攻擊。剪掉加密圖像中間180×180大小的圖像，如圖10(b)所示，再對剪切過的圖像進行解密，解密圖像如圖10(d)所示。圖10(a)為剪切前的加密圖像，圖10(c)為剪切前加密圖像的解密圖像。對比圖10(c)和圖10(d)可以發現，圖10(d)中均勻分布有一些錯誤的像素點，但仍然可以清晰辨認原始圖像信息。說明加密圖像在遭受攻擊后仍然具有良好的解密效果。

圖10 抗攻擊能力分析結果

6 結論

本文通過增加線性反饋項構造了一種四維多渦卷超混沌系統，在不同參數下可表現出2渦卷到6渦卷超混沌吸引子。理論分析表明，系統是耗散的，在一定參數范圍內，系統具有兩個正李氏指數，處于超混沌態，表現出復雜的動力學行為；系統電路仿真結果與數值仿真結果一致，說明系統在物理上可以實現；對系統進行了圖像加密應用，密文相關性低于0.02、信息熵大于7.999，密匙變化10-11時，密文的變化率達99.61%，且具有良好的抵御灰度統計分析的能力和抗攻擊能力，說明將超混沌系統用于圖像加密時安全性高。